Номер 32.12, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.12. Решите уравнение $\sin\frac{x}{2}\sin^3 x + \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{4}$.

Исходное уравнение:

$$ \sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{4} $$

Для упрощения первого слагаемого воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.

Пусть $ \alpha = \frac{3x}{2} $ и $ \beta = \frac{x}{2} $. Тогда:

$$ \sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) $$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$$ \frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) + \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{4} $$

Теперь применим формулу понижения степени (или формулу половинного угла) для косинуса: $ \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2} $.

Уравнение примет вид:

$$ \frac{1}{2}(\cos x - \cos 2x) + \frac{1+\cos x}{2} = \frac{1}{4} $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:

$$ 2(\cos x - \cos 2x) + 2(1+\cos x) = 1 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ 2\cos x - 2\cos 2x + 2 + 2\cos x = 1 $$

$$ 4\cos x - 2\cos 2x + 1 = 0 $$

Чтобы привести уравнение к одной переменной, используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $.

$$ 4\cos x - 2(2\cos^2 x - 1) + 1 = 0 $$

$$ 4\cos x - 4\cos^2 x + 2 + 1 = 0 $$

$$ -4\cos^2 x + 4\cos x + 3 = 0 $$

Умножим на -1 для удобства:

$$ 4\cos^2 x - 4\cos x - 3 = 0 $$

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $, при этом $ |t| \le 1 $.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$$ 4t^2 - 4t - 3 = 0 $$

Решим его с помощью дискриминанта:

$$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $$

Корни уравнения:

$$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $$

$$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} $$

Теперь вернемся к замене $ \cos x = t $.

1. $ \cos x = \frac{3}{2} $. Данное уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1, 1] $, а $ \frac{3}{2} > 1 $.

2. $ \cos x = -\frac{1}{2} $. Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого находятся по формуле:

$$ x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

Так как $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} $, получаем:

$$ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $ \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.