Номер 32.5, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.5. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2}, \\ \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} y = 2; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = \frac{1}{6}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} \\ \tg x + \tg y = 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{\pi}{2} - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\tg x + \tg(\frac{\pi}{2} - x) = 2$

Используем формулу приведения $\tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \ctg \alpha$. Уравнение принимает вид:

$\tg x + \ctg x = 2$

Так как $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$, заменим $\ctg x$:

$\tg x + \frac{1}{\tg x} = 2$

Введем замену $t = \tg x$. При этом $t \neq 0$. Уравнение становится:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (при условии $t \neq 0$):

$t^2 + 1 = 2t$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t - 1)^2 = 0$

Отсюда $t = 1$.

Вернемся к замене $t = \tg x$:

$\tg x = 1$

Решение этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем $y$, используя выражение $y = \frac{\pi}{2} - x$:

$y = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \pi n) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi n = \frac{\pi}{4} - \pi n$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(x, y)$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4} \\ \tg x \cdot \tg y = \frac{1}{6} \end{cases} $

Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \cdot \tg y}$.

Из первого уравнения системы известно, что $x+y = \frac{\pi}{4}$, следовательно, $\tg(x+y) = \tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставим известные значения в формулу тангенса суммы:

$1 = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \frac{1}{6}}$

$1 = \frac{\tg x + \tg y}{\frac{5}{6}}$

Отсюда получаем новое уравнение: $\tg x + \tg y = \frac{5}{6}$.

Теперь у нас есть система для $\tg x$ и $\tg y$. Пусть $a = \tg x$ и $b = \tg y$.

$ \begin{cases} a + b = \frac{5}{6} \\ a \cdot b = \frac{1}{6} \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (a+b)z + ab = 0$.

$z^2 - \frac{5}{6}z + \frac{1}{6} = 0$

Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6z^2 - 5z + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$z_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$z_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Таким образом, значения $\tg x$ и $\tg y$ равны $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\tg x = \frac{1}{2}$ и $\tg y = \frac{1}{3}$.

$x = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$y = \operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим эти выражения в первое уравнение исходной системы $x + y = \frac{\pi}{4}$:

$(\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n) + (\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi k) = \frac{\pi}{4}$

Используя формулу $\operatorname{arctg} a + \operatorname{arctg} b = \operatorname{arctg}\frac{a+b}{1-ab}$ (при $ab < 1$), получаем:

$\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \operatorname{arctg}\frac{1}{3} = \operatorname{arctg}\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}} = \operatorname{arctg}\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Тогда уравнение принимает вид: $\frac{\pi}{4} + \pi(n+k) = \frac{\pi}{4}$.

Отсюда $n+k=0$, то есть $k=-n$.

Решения в этом случае: $( \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, \operatorname{arctg}\frac{1}{3} - \pi n )$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\tg x = \frac{1}{3}$ и $\tg y = \frac{1}{2}$.

Аналогично, $x = \operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi n$ и $y = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi k$.

Подстановка в $x+y=\frac{\pi}{4}$ снова дает условие $k=-n$.

Решения в этом случае: $( \operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi n, \operatorname{arctg}\frac{1}{2} - \pi n )$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя оба случая, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(\operatorname{arctg}\frac{1}{2} + \pi n, \operatorname{arctg}\frac{1}{3} - \pi n)$, $(\operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi n, \operatorname{arctg}\frac{1}{2} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.