Номер 32.11, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.11. Решите уравнение:

1) $\sin^2 2x - \frac{1}{4} = \cos 2x \cos 6x;$

2) $2\sin x \cos 3x = \cos^2 4x - \sin 2x + 1.$

1) $ \sin^2(2x) - \frac{1}{4} = \cos(2x)\cos(6x) $

Преобразуем обе части уравнения, используя тригонометрические формулы.

Для левой части используем формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:

$ \sin^2(2x) - \frac{1}{4} = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1 - \cos(4x)}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2(1 - \cos(4x)) - 1}{4} = \frac{1 - 2\cos(4x)}{4} $.

Для правой части используем формулу преобразования произведения в сумму $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $:

$ \cos(2x)\cos(6x) = \frac{1}{2}(\cos(6x - 2x) + \cos(6x + 2x)) = \frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(8x)) $.

Теперь приравняем преобразованные части:

$ \frac{1 - 2\cos(4x)}{4} = \frac{\cos(4x) + \cos(8x)}{2} $

Умножим обе части уравнения на 4:

$ 1 - 2\cos(4x) = 2(\cos(4x) + \cos(8x)) $

$ 1 - 2\cos(4x) = 2\cos(4x) + 2\cos(8x) $

$ 1 - 4\cos(4x) - 2\cos(8x) = 0 $

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 $:

$ 1 - 4\cos(4x) - 2(2\cos^2(4x) - 1) = 0 $

$ 1 - 4\cos(4x) - 4\cos^2(4x) + 2 = 0 $

$ -4\cos^2(4x) - 4\cos(4x) + 3 = 0 $

$ 4\cos^2(4x) + 4\cos(4x) - 3 = 0 $

Пусть $ t = \cos(4x) $, тогда $ |t| \le 1 $. Уравнение принимает вид:

$ 4t^2 + 4t - 3 = 0 $

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 $.

$ t_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $

Значение $ t_1 = -\frac{3}{2} $ не подходит, так как $ |\cos(4x)| \le 1 $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ \cos(4x) = \frac{1}{2} $

$ 4x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ 4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

2) $ 2\sin(x)\cos(3x) = \cos^2(4x) - \sin(2x) + 1 $

Преобразуем левую часть по формуле произведения синуса и косинуса $ 2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) $:

$ 2\sin(x)\cos(3x) = \sin(x + 3x) + \sin(x - 3x) = \sin(4x) + \sin(-2x) = \sin(4x) - \sin(2x) $.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$ \sin(4x) - \sin(2x) = \cos^2(4x) - \sin(2x) + 1 $

Сократим $ -\sin(2x) $ в обеих частях:

$ \sin(4x) = \cos^2(4x) + 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2(4x) = 1 - \sin^2(4x) $:

$ \sin(4x) = (1 - \sin^2(4x)) + 1 $

$ \sin(4x) = 2 - \sin^2(4x) $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \sin^2(4x) + \sin(4x) - 2 = 0 $

Пусть $ t = \sin(4x) $, тогда $ |t| \le 1 $. Уравнение принимает вид:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -2 $.

Значение $ t_2 = -2 $ не подходит, так как $ |\sin(4x)| \le 1 $.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ \sin(4x) = 1 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $