Номер 32.7, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.7. Решите уравнение:

1) $\sin^2 x + 0,5\sin 2x - 2\cos^2 x = 0;$

2) $5\cos^2 x - 3\sin^2 x - \sin 2x = 2;$

3) $3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3;$

4) $3\sin x \cos x + \cos^2 x = 1.$

1)

Исходное уравнение: $ \sin^2 x + 0,5\sin 2x - 2\cos^2 x = 0 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ \sin^2 x + 0,5(2\sin x \cos x) - 2\cos^2 x = 0 $

$ \sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $ \cos x = 0 $ решением. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставляя в уравнение, получаем $ 1 + 0 - 0 = 0 $, что неверно. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ \tan^2 x + \tan x - 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $. Уравнение принимает вид:

$ t^2 + t - 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -2 $.

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan x = -2 \implies x = \arctan(-2) + \pi n = -\arctan(2) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi n, -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2)

Исходное уравнение: $ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - \sin 2x = 2 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x $ и формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $.

$ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) $

$ 5\cos^2 x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ (5\cos^2 x - 2\cos^2 x) + (-3\sin^2 x - 2\sin^2 x) - 2\sin x \cos x = 0 $

$ 3\cos^2 x - 5\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 0 $

Умножим на -1 для удобства и переупорядочим слагаемые:

$ 5\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 $

Это однородное уравнение. Проверим, что $ \cos x \neq 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $, и уравнение принимает вид $ 5(1) + 0 - 0 = 0 $, что неверно. Значит, можно разделить уравнение на $ \cos^2 x $:

$ 5\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ 5\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $:

$ 5t^2 + 2t - 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $ D = 2^2 - 4(5)(-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $.

$ t = \frac{-2 \pm 8}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 8}{10} $

$ t_1 = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $

$ t_2 = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1 $

Возвращаемся к замене:

1. $ \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \tan x = \frac{3}{5} \implies x = \arctan(\frac{3}{5}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + \pi n, \arctan(\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

3)

Исходное уравнение: $ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x $:

$ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) $

$ 3\sin^2 x + \sin x \cos x + 4\cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ (3\sin^2 x - 3\sin^2 x) + \sin x \cos x + (4\cos^2 x - 3\cos^2 x) = 0 $

$ \sin x \cos x + \cos^2 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\sin x + \cos x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = -\cos x $. Разделим обе части на $ \cos x $ (мы можем это сделать, так как если $ \cos x = 0 $, то и $ \sin x $ должен быть равен 0, что невозможно). Получаем $ \tan x = -1 $.

$ x = \arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4)

Исходное уравнение: $ 3\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2 x + \cos^2 x $:

$ 3\sin x \cos x + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 3\sin x \cos x + \cos^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0 $

$ 3\sin x \cos x - \sin^2 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$ \sin x (3\cos x - \sin x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \sin x = 0 \implies x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 3\cos x - \sin x = 0 \implies 3\cos x = \sin x $. Разделим обе части на $ \cos x $ (если $ \cos x = 0 $, то $ \sin x = 0 $, что невозможно). Получаем $ \tan x = 3 $.

$ x = \arctan(3) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \pi n, \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.