Номер 32.9, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.9. Решите уравнение:

1) $4\cos x \sin x = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$;

2) $3\cos x + 2\operatorname{tg} x = 0$;

3) $3 + 5\cos x = \sin^4 x - \cos^4 x$;

4) $\cos 2x - 9\cos x + 6 = 4\sin^2 \frac{x}{2}$.

1) $4\cos x \sin x = \text{tg } x + \text{ctg } x$
Преобразуем обе части уравнения, используя тригонометрические тождества.
Левая часть: $4\cos x \sin x = 2(2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.
Правая часть: $\text{tg } x + \text{ctg } x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{2}{\sin(2x)}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $\sin(2x) \neq 0$.
Получаем уравнение:
$2\sin(2x) = \frac{2}{\sin(2x)}$
$\sin^2(2x) = 1$
$\sin(2x) = \pm 1$
Это частный случай, решение которого:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$
Данное решение удовлетворяет ОДЗ, так как при этих значениях $x$, $\sin(2x) \neq 0$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $3\cos x + 2\text{tg } x = 0$
ОДЗ: $\cos x \neq 0$.
Заменим $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$3\cos x + 2\frac{\sin x}{\cos x} = 0$
Умножим обе части на $\cos x \neq 0$:
$3\cos^2 x + 2\sin x = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$3(1 - \sin^2 x) + 2\sin x = 0$
$3 - 3\sin^2 x + 2\sin x = 0$
$3\sin^2 x - 2\sin x - 3 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$3t^2 - 2t - 3 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 4 + 36 = 40$
$t = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9}=3$, то $1+\sqrt{10} > 4$, и $t_1 > \frac{4}{3} > 1$. Этот корень не подходит.
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$. Так как $3 < \sqrt{10} < 4$, то $-3 < 1-\sqrt{10} < -2$, и $-1 < t_2 < -\frac{2}{3}$. Этот корень подходит.
Возвращаемся к замене:
$\sin x = \frac{1 - \sqrt{10}}{3}$
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{10}}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3 + 5\cos x = \sin^4 x - \cos^4 x$
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов:
$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$
Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$, то $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x)$.
Уравнение принимает вид:
$3 + 5\cos x = -\cos(2x)$
Используем формулу двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:
$3 + 5\cos x = -(2\cos^2 x - 1)$
$3 + 5\cos x = -2\cos^2 x + 1$
$2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + 5t + 2 = 0$
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$t = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$
$t_1 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-5-3}{4} = -2$. Этот корень не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos(2x) - 9\cos x + 6 = 4\sin^2\frac{x}{2}$
Приведем все функции к одному аргументу $x$, используя формулы двойного и половинного углов:
$\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$
$4\sin^2\frac{x}{2} = 4\left(\frac{1 - \cos x}{2}\right) = 2(1 - \cos x)$
Подставим в исходное уравнение:
$(2\cos^2 x - 1) - 9\cos x + 6 = 2(1 - \cos x)$
$2\cos^2 x - 9\cos x + 5 = 2 - 2\cos x$
$2\cos^2 x - 7\cos x + 3 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - 7t + 3 = 0$
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
$t = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$
$t_1 = \frac{7+5}{4} = 3$. Этот корень не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.
$t_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене:
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.