Номер 32.16, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.16. Решите уравнение:

1) $4\sin^4x + \cos4x = 1 + 12\cos^4x$;

2) $\cos^43x + \cos^4 \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}$.

1) $4\sin^4x + \cos(4x) = 1 + 12\cos^4x$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами понижения степени и формулой косинуса двойного угла, чтобы выразить все его члены через $\cos(2x)$.

Известно, что $\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ и $\cos^2x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$.

Тогда:

$\sin^4x = \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

$\cos^4x = \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

Формула косинуса четверного угла: $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$4\left(\frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}\right) + (2\cos^2(2x) - 1) = 1 + 12\left(\frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}\right)$

Сократим дроби и раскроем скобки:

$1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x) + 2\cos^2(2x) - 1 = 1 + 3(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x))$

Приведем подобные члены в левой и правой частях:

$-2\cos(2x) + 3\cos^2(2x) = 1 + 3 + 6\cos(2x) + 3\cos^2(2x)$

$-2\cos(2x) + 3\cos^2(2x) = 4 + 6\cos(2x) + 3\cos^2(2x)$

Вычтем $3\cos^2(2x)$ из обеих частей уравнения:

$-2\cos(2x) = 4 + 6\cos(2x)$

Перенесем члены с $\cos(2x)$ в одну сторону:

$-8\cos(2x) = 4$

$\cos(2x) = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$

Теперь решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^4(3x) + \cos^4\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}$

Воспользуемся формулой понижения степени для четвертой степени косинуса: $\cos^4\alpha = \left(\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2\alpha) + \cos^2(2\alpha)}{4}$.

Применим эту формулу к обоим слагаемым в левой части уравнения:

Для первого слагаемого ($\alpha = 3x$): $\cos^4(3x) = \frac{1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x)}{4}$.

Для второго слагаемого ($\alpha = 3x - \frac{\pi}{4}$): $\cos^4\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + 2\cos\left(2(3x-\frac{\pi}{4})\right) + \cos^2\left(2(3x-\frac{\pi}{4})\right)}{4} = \frac{1 + 2\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)}{4}$.

Подставим в уравнение:

$\frac{1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x)}{4} + \frac{1 + 2\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)}{4} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 4:

$1 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x) + 1 + 2\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(6x-\frac{\pi}{2}\right) = 1$

Используем формулы приведения: $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\alpha$. Следовательно, $\cos\left(6x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(6x)$ и $\cos^2\left(6x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin^2(6x)$.

Уравнение принимает вид:

$2 + 2\cos(6x) + \cos^2(6x) + 2\sin(6x) + \sin^2(6x) = 1$

Сгруппируем члены, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(6x) + \sin^2(6x) = 1$:

$2 + 2(\cos(6x) + \sin(6x)) + (\cos^2(6x) + \sin^2(6x)) = 1$

$2 + 2(\cos(6x) + \sin(6x)) + 1 = 1$

$3 + 2(\cos(6x) + \sin(6x)) = 1$

$2(\cos(6x) + \sin(6x)) = -2$

$\cos(6x) + \sin(6x) = -1$

Решим это уравнение методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(6x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(6x)\right) = -1$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$. Используем формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\left(\cos(6x)\cos\frac{\pi}{4} + \sin(6x)\sin\frac{\pi}{4}\right) = -1$

$\sqrt{2}\cos\left(6x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$

$\cos\left(6x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение этого уравнения:

$6x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая:

1) $6x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$6x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

2) $6x - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$6x = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.