Номер 32.20, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.20. Решите уравнение $\sin^3 2x + \cos^3 2x - \sin 2x = 0$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$\sin^3(2x) + \cos^3(2x) - \sin(2x) = 0$

Перегруппируем слагаемые для удобства преобразования:

$\cos^3(2x) + \sin^3(2x) - \sin(2x) = 0$

Вынесем $-\sin(2x)$ за скобки из второго и третьего слагаемых:

$\cos^3(2x) - \sin(2x)(1 - \sin^2(2x)) = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2(2x) = \cos^2(2x)$. Подставим это выражение в наше уравнение:

$\cos^3(2x) - \sin(2x)\cos^2(2x) = 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $\cos^2(2x)$ за скобки:

$\cos^2(2x)(\cos(2x) - \sin(2x)) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $\cos^2(2x) = 0$

2. $\cos(2x) - \sin(2x) = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

1. Решение уравнения $\cos^2(2x) = 0$

Это уравнение равносильно уравнению $\cos(2x) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решения имеют вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решение уравнения $\cos(2x) - \sin(2x) = 0$

Перенесем $\sin(2x)$ в правую часть:

$\cos(2x) = \sin(2x)$

Заметим, что в этом уравнении $\cos(2x)$ не может быть равен нулю, так как если бы $\cos(2x) = 0$, то и $\sin(2x)$ должен был бы быть равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$. Поэтому мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\cos(2x)$:

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$

$\tan(2x) = 1$

Решения этого уравнения находятся по формуле:

$2x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.