Страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.17. Решите уравнение:

1) $\operatorname{tg}^4 x + \operatorname{ctg}^4 x + \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{ctg}^2 x = 4;$

2) $18 \cos^2 x + 5(3 \cos x + \cos^{-1} x) + 2 \cos^{-2} x + 5 = 0.$

1) $\tg^4x + \ctg^4x + \tg^2x + \ctg^2x = 4$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \ne 0$ и $\cos x \ne 0$, что эквивалентно $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты:
$(\tg^4x + 2\tg^2x\ctg^2x + \ctg^4x) - 2\tg^2x\ctg^2x + (\tg^2x + \ctg^2x) = 4$
Так как $\tg x \cdot \ctg x = 1$, то $\tg^2x\ctg^2x = 1$.
$(\tg^2x + \ctg^2x)^2 - 2 + (\tg^2x + \ctg^2x) = 4$
Введем замену: пусть $y = \tg^2x + \ctg^2x$. Уравнение примет вид:
$y^2 + y - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.
Вернемся к замене.
1. Случай $y = -3$:
$\tg^2x + \ctg^2x = -3$
Так как $\tg^2x \ge 0$ и $\ctg^2x \ge 0$, их сумма не может быть отрицательной. Следовательно, в этом случае решений нет.
2. Случай $y = 2$:
$\tg^2x + \ctg^2x = 2$
Так как $\ctg^2x = \frac{1}{\tg^2x}$, получаем:
$\tg^2x + \frac{1}{\tg^2x} = 2$
Умножим обе части на $\tg^2x \ne 0$:
$(\tg^2x)^2 + 1 = 2\tg^2x$
$(\tg^2x)^2 - 2\tg^2x + 1 = 0$
$(\tg^2x - 1)^2 = 0$
$\tg^2x - 1 = 0$
$\tg^2x = 1$
Отсюда $\tg x = 1$ или $\tg x = -1$.
Если $\tg x = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Если $\tg x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить в одну: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.
Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $18\cos^2x + 5(3\cos x + \cos^{-1}x) + 2\cos^{-2}x + 5 = 0$

Будем считать, что $\cos^{-1}x = \frac{1}{\cos x}$ и $\cos^{-2}x = \frac{1}{\cos^2x}$.
ОДЗ: $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Перепишем уравнение в виде:
$18\cos^2x + 15\cos x + \frac{5}{\cos x} + \frac{2}{\cos^2x} + 5 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(18\cos^2x + \frac{2}{\cos^2x}) + (15\cos x + \frac{5}{\cos x}) + 5 = 0$
$2(9\cos^2x + \frac{1}{\cos^2x}) + 5(3\cos x + \frac{1}{\cos x}) + 5 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = 3\cos x + \frac{1}{\cos x}$.
Тогда $t^2 = (3\cos x + \frac{1}{\cos x})^2 = 9\cos^2x + 2 \cdot 3\cos x \cdot \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\cos^2x} = 9\cos^2x + 6 + \frac{1}{\cos^2x}$.
Отсюда $9\cos^2x + \frac{1}{\cos^2x} = t^2 - 6$.
Подставим в уравнение:
$2(t^2 - 6) + 5t + 5 = 0$
$2t^2 - 12 + 5t + 5 = 0$
$2t^2 + 5t - 7 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$t_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$
$t_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Вернемся к исходной переменной.
1. Случай $t = 1$:
$3\cos x + \frac{1}{\cos x} = 1$
$3\cos^2x + 1 = \cos x$
$3\cos^2x - \cos x + 1 = 0$
Пусть $u = \cos x$. Уравнение $3u^2 - u + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11 < 0$. Действительных корней нет.
2. Случай $t = -\frac{7}{2}$:
$3\cos x + \frac{1}{\cos x} = -\frac{7}{2}$
Умножим на $2\cos x \ne 0$:
$6\cos^2x + 2 = -7\cos x$
$6\cos^2x + 7\cos x + 2 = 0$
Пусть $u = \cos x$. Уравнение $6u^2 + 7u + 2 = 0$. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$.
$u_1 = \frac{-7 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$
$u_2 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
Оба значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$, поэтому являются допустимыми значениями для косинуса.
a) $\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos x = -\frac{2}{3}$
$x = \pm \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

32.18. Решите уравнение:

1) $tg^3 x + tg^2 x + ctg^2 x + ctg^3 x = 4;$

2) $4\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x} + 4\sin x + \frac{2}{\sin x} = 11.$

1) $\tg^3 x + \tg^2 x + \ctg^2 x + \ctg^3 x = 4$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс и котангенс должны быть определены, поэтому $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(\tg^3 x + \ctg^3 x) + (\tg^2 x + \ctg^2 x) = 4$

Введем замену: пусть $y = \tg x + \ctg x$.

Выразим через $y$ другие слагаемые, используя тот факт, что $\tg x \cdot \ctg x = 1$:

$\tg^2 x + \ctg^2 x = (\tg x + \ctg x)^2 - 2 \tg x \ctg x = y^2 - 2$

$\tg^3 x + \ctg^3 x = (\tg x + \ctg x)(\tg^2 x - \tg x \ctg x + \ctg^2 x) = y((\tg^2 x + \ctg^2 x) - 1) = y((y^2 - 2) - 1) = y(y^2 - 3) = y^3 - 3y$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(y^3 - 3y) + (y^2 - 2) = 4$

$y^3 + y^2 - 3y - 6 = 0$

Найдем корни этого кубического уравнения. Проверим целые делители свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

При $y=2$: $2^3 + 2^2 - 3 \cdot 2 - 6 = 8 + 4 - 6 - 6 = 0$. Значит, $y=2$ является корнем.

Разделим многочлен $y^3 + y^2 - 3y - 6$ на $(y - 2)$ и получим:

$(y - 2)(y^2 + 3y + 3) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $y - 2 = 0 \implies y = 2$.

2. $y^2 + 3y + 3 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственное решение для $y$ — это $y=2$.

Выполним обратную замену:

$\tg x + \ctg x = 2$

$\tg x + \frac{1}{\tg x} = 2$

Умножим обе части на $\tg x$ (мы знаем, что $\tg x \neq 0$ по ОДЗ):

$\tg^2 x + 1 = 2 \tg x$

$\tg^2 x - 2 \tg x + 1 = 0$

$(\tg x - 1)^2 = 0$

$\tg x = 1$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $4\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x} + 4\sin x + \frac{2}{\sin x} = 11$

ОДЗ: $\sin x \neq 0$, следовательно, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сгруппируем слагаемые:

$(4\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}) + (4\sin x + \frac{2}{\sin x}) - 11 = 0$

$(4\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}) + 2(2\sin x + \frac{1}{\sin x}) - 11 = 0$

Введем замену: пусть $y = 2\sin x + \frac{1}{\sin x}$.

Тогда $y^2 = (2\sin x + \frac{1}{\sin x})^2 = 4\sin^2 x + 2 \cdot 2\sin x \cdot \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin^2 x} = 4\sin^2 x + 4 + \frac{1}{\sin^2 x}$.

Отсюда $4\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x} = y^2 - 4$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 4) + 2y - 11 = 0$

$y^2 + 2y - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $y = 3$.

$2\sin x + \frac{1}{\sin x} = 3$

Пусть $t = \sin x$ (где $t \neq 0$ и $|t| \le 1$).

$2t + \frac{1}{t} = 3 \implies 2t^2 - 3t + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{3+1}{4} = 1$, $t_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

а) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $y = -5$.

$2\sin x + \frac{1}{\sin x} = -5$

Пусть $t = \sin x$.

$2t + \frac{1}{t} = -5 \implies 2t^2 + 5t + 1 = 0$

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17$.

$t_3 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$, $t_4 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$.

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|t| \le 1$.

Для $t_3$: так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $-1 < -5+\sqrt{17} < 0$. Разделив на 4, получим $-0.25 < \frac{-5+\sqrt{17}}{4} < 0$. Этот корень подходит, так как принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

$\sin x = \frac{-5 + \sqrt{17}}{4} \implies x = (-1)^n \arcsin(\frac{-5 + \sqrt{17}}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Для $t_4$: $\frac{-5 - \sqrt{17}}{4} < \frac{-5-4}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25$. Этот корень не подходит, так как $t_4 < -1$.

Все найденные серии решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$; $x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{17}-5}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

32.19. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 x + \frac{5}{4}\sin^2 2x + \sin^4 x + \cos 2x = 0;$

2) $\sin^3 x = \sin x + \cos x.$

1) $2\cos^2x + \frac{5}{4}\sin^2(2x) + \sin^4x + \cos(2x) = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулами двойного угла и формулами понижения степени, чтобы выразить все тригонометрические функции через $\cos(2x)$.

Известные формулы:

• $2\cos^2x = 1 + \cos(2x)$
• $\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x)$
• $\sin^2x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$, следовательно, $\sin^4x = (\frac{1 - \cos(2x)}{2})^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(1 + \cos(2x)) + \frac{5}{4}(1 - \cos^2(2x)) + \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} + \cos(2x) = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $t = \cos(2x)$. Учитывая, что $-1 \le \cos(2x) \le 1$, имеем $-1 \le t \le 1$.

$(1 + t) + \frac{5}{4}(1 - t^2) + \frac{1 - 2t + t^2}{4} + t = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$4(1 + t) + 5(1 - t^2) + (1 - 2t + t^2) + 4t = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 + 4t + 5 - 5t^2 + 1 - 2t + t^2 + 4t = 0$

$-4t^2 + 6t + 10 = 0$

Разделим уравнение на -2:

$2t^2 - 3t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Вернемся к замене $t = \cos(2x)$.

Первый корень $t_1 = 2.5$. Уравнение $\cos(2x) = 2.5$ не имеет решений, так как значение косинуса не может превышать 1.

Второй корень $t_2 = -1$. Уравнение $\cos(2x) = -1$ является частным случаем тригонометрического уравнения.

$2x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin^3x = \sin x + \cos x$

Перенесем $\sin x$ в левую часть уравнения:

$\sin^3x - \sin x = \cos x$

Вынесем $\sin x$ за скобки в левой части:

$\sin x(\sin^2x - 1) = \cos x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\sin^2x - 1 = -\cos^2x$. Подставим это в уравнение:

$\sin x(-\cos^2x) = \cos x$

$-\sin x \cos^2x = \cos x$

Перенесем все слагаемые в одну часть:

$\sin x \cos^2x + \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x(\sin x \cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\cos x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x \cos x + 1 = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\frac{1}{2}\sin(2x) + 1 = 0$

$\frac{1}{2}\sin(2x) = -1$

$\sin(2x) = -2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является решение из первого случая.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

32.20. Решите уравнение $\sin^3 2x + \cos^3 2x - \sin 2x = 0$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$\sin^3(2x) + \cos^3(2x) - \sin(2x) = 0$

Перегруппируем слагаемые для удобства преобразования:

$\cos^3(2x) + \sin^3(2x) - \sin(2x) = 0$

Вынесем $-\sin(2x)$ за скобки из второго и третьего слагаемых:

$\cos^3(2x) - \sin(2x)(1 - \sin^2(2x)) = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2(2x) = \cos^2(2x)$. Подставим это выражение в наше уравнение:

$\cos^3(2x) - \sin(2x)\cos^2(2x) = 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $\cos^2(2x)$ за скобки:

$\cos^2(2x)(\cos(2x) - \sin(2x)) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $\cos^2(2x) = 0$

2. $\cos(2x) - \sin(2x) = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

1. Решение уравнения $\cos^2(2x) = 0$

Это уравнение равносильно уравнению $\cos(2x) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решения имеют вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решение уравнения $\cos(2x) - \sin(2x) = 0$

Перенесем $\sin(2x)$ в правую часть:

$\cos(2x) = \sin(2x)$

Заметим, что в этом уравнении $\cos(2x)$ не может быть равен нулю, так как если бы $\cos(2x) = 0$, то и $\sin(2x)$ должен был бы быть равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$. Поэтому мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\cos(2x)$:

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$

$\tan(2x) = 1$

Решения этого уравнения находятся по формуле:

$2x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

32.21. Решите уравнение:

1) $\cos 3x + 2\cos x = 0$;

2) $\sin 6x + 2 = 2\cos 4x$.

1) $ \cos{3x} + 2\cos{x} = 0 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $ \cos{3\alpha} = 4\cos^3{\alpha} - 3\cos{\alpha} $.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$ (4\cos^3{x} - 3\cos{x}) + 2\cos{x} = 0 $

Упростим выражение:

$ 4\cos^3{x} - \cos{x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos{x} $ за скобки:

$ \cos{x}(4\cos^2{x} - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1. $ \cos{x} = 0 $

Решением этого уравнения является серия корней: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 4\cos^2{x} - 1 = 0 $

$ 4\cos^2{x} = 1 $

$ \cos^2{x} = \frac{1}{4} $

$ \cos{x} = \pm\frac{1}{2} $

Это уравнение, в свою очередь, дает две серии решений:

а) $ \cos{x} = \frac{1}{2} $, откуда $ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos{x} = -\frac{1}{2} $, откуда $ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Объединяя все найденные серии корней, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin{6x} + 2 = 2\cos{4x} $

Перенесем 2 в правую часть уравнения:

$ \sin{6x} = 2\cos{4x} - 2 $

Вынесем 2 за скобки в правой части:

$ \sin{6x} = 2(\cos{4x} - 1) $

Воспользуемся формулой $ 1 - \cos{2\alpha} = 2\sin^2{\alpha} $. Из нее следует, что $ \cos{4x} - 1 = -2\sin^2{2x} $. Подставим это в уравнение:

$ \sin{6x} = 2(-2\sin^2{2x}) $

$ \sin{6x} = -4\sin^2{2x} $

Теперь применим формулу синуса тройного угла $ \sin{3\alpha} = 3\sin{\alpha} - 4\sin^3{\alpha} $ для левой части, положив $ \alpha = 2x $:

$ 3\sin{2x} - 4\sin^3{2x} = -4\sin^2{2x} $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 4\sin^3{2x} - 4\sin^2{2x} - 3\sin{2x} = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin{2x} $ за скобки:

$ \sin{2x}(4\sin^2{2x} - 4\sin{2x} - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $ \sin{2x} = 0 $

Отсюда $ 2x = \pi n $, и $ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2. $ 4\sin^2{2x} - 4\sin{2x} - 3 = 0 $

Сделаем замену $ t = \sin{2x} $, где $ |t| \le 1 $. Уравнение примет вид:

$ 4t^2 - 4t - 3 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $.

Корни уравнения: $ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 8}{8} $.

$ t_1 = \frac{4+8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} $

$ t_2 = \frac{4-8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} $

Вернемся к замене. Корень $ t_1 = \frac{3}{2} $ не удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $, так как $ \frac{3}{2} > 1 $, поэтому он является посторонним.

Остается решить уравнение $ \sin{2x} = t_2 = -\frac{1}{2} $.

$ 2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ 2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k $

$ 2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $

$ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Объединяем все полученные решения.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

32.22. Решите уравнение:

1) $3\sin\frac{x}{3} = \sin x;$

2) $\cos 3x - 1 = \cos 2x.$

1) $3\sin\frac{x}{3} = \sin x$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

Пусть $\alpha = \frac{x}{3}$, тогда $3\alpha = x$. Подставим это в формулу:

$\sin x = 3\sin\frac{x}{3} - 4\sin^3\frac{x}{3}$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$3\sin\frac{x}{3} = 3\sin\frac{x}{3} - 4\sin^3\frac{x}{3}$

Упростим полученное уравнение:

$4\sin^3\frac{x}{3} = 0$

$\sin^3\frac{x}{3} = 0$

$\sin\frac{x}{3} = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$\frac{x}{3} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Отсюда находим $x$:

$x = 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos3x - 1 = \cos2x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$\cos3x - \cos2x - 1 = 0$

Воспользуемся формулами косинуса тройного и двойного углов:

$\cos3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$

$\cos2x = 2\cos^2 x - 1$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(4\cos^3 x - 3\cos x) - (2\cos^2 x - 1) - 1 = 0$

$4\cos^3 x - 3\cos x - 2\cos^2 x + 1 - 1 = 0$

$4\cos^3 x - 2\cos^2 x - 3\cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (4\cos^2 x - 2\cos x - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\cos x = 0$

2. $4\cos^2 x - 2\cos x - 3 = 0$

Решим первое уравнение:

$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение. Сделаем замену $t = \cos x$, при этом $|t| \le 1$.

$4t^2 - 2t - 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 4 + 48 = 52$

Найдем корни квадратного уравнения:

$t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|t| \le 1$.

Для корня $t_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $1+3 < 1+\sqrt{13} < 1+4$, следовательно $\frac{4}{4} < \frac{1 + \sqrt{13}}{4} < \frac{5}{4}$. То есть $t_1 > 1$, что не удовлетворяет условию $|\cos x| \le 1$. Этот корень является посторонним.

Для корня $t_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $1-4 < 1-\sqrt{13} < 1-3$, следовательно $-\frac{3}{4} < \frac{1 - \sqrt{13}}{4} < -\frac{2}{4}$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Вернемся к замене:

$\cos x = \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Отсюда находим $x$:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

32.23. Решите уравнение:

1) $3\cos x + 3\sin x + \sin 3x - \cos 3x = 0;$

2) $\cos 4x = \cos^2 3x;$

3) $\sin^3 x \sin 3x + \cos^3 x \cos 3x = \cos^3 4x.$

1) $3\cos x + 3\sin x + \sin 3x - \cos 3x = 0$

Решение:

Сгруппируем слагаемые в исходном уравнении:

$(3\cos x - \cos 3x) + (3\sin x + \sin 3x) = 0$

Воспользуемся формулами тройного угла: $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ и $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$. Подставим их в уравнение:

$(3\cos x - (4\cos^3 x - 3\cos x)) + (3\sin x + (3\sin x - 4\sin^3 x)) = 0$

$(6\cos x - 4\cos^3 x) + (6\sin x - 4\sin^3 x) = 0$

Разделим уравнение на 2 и сгруппируем слагаемые по-другому:

$3(\cos x + \sin x) - 2(\cos^3 x + \sin^3 x) = 0$

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$3(\cos x + \sin x) - 2(\cos x + \sin x)(\cos^2 x - \cos x \sin x + \sin^2 x) = 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получим:

$3(\cos x + \sin x) - 2(\cos x + \sin x)(1 - \cos x \sin x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$ за скобки:

$(\cos x + \sin x) [3 - 2(1 - \cos x \sin x)] = 0$

$(\cos x + \sin x) (3 - 2 + 2\cos x \sin x) = 0$

$(\cos x + \sin x) (1 + 2\cos x \sin x) = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$(\cos x + \sin x) (1 + \sin 2x) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x + \sin x = 0$. Разделив на $\cos x \neq 0$, получим $\tan x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $1 + \sin 2x = 0$. Отсюда $\sin 2x = -1$, что дает $2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, и $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Оба случая приводят к одному и тому же множеству решений.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 4x = \cos^2 3x$

Решение:

Применим формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$ к правой части уравнения:

$\cos 4x = \frac{1+\cos(2 \cdot 3x)}{2}$

$2\cos 4x = 1+\cos 6x$

$2\cos 4x - \cos 6x - 1 = 0$

Сделаем замену $y=2x$. Уравнение примет вид:

$2\cos(2y) - \cos(3y) - 1 = 0$

Используем формулы косинуса двойного и тройного углов: $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1$ и $\cos 3y = 4\cos^3 y - 3\cos y$.

$2(2\cos^2 y - 1) - (4\cos^3 y - 3\cos y) - 1 = 0$

$4\cos^2 y - 2 - 4\cos^3 y + 3\cos y - 1 = 0$

$-4\cos^3 y + 4\cos^2 y + 3\cos y - 3 = 0$

$4\cos^3 y - 4\cos^2 y - 3\cos y + 3 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$4\cos^2 y (\cos y - 1) - 3(\cos y - 1) = 0$

$(\cos y - 1)(4\cos^2 y - 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Вернемся к переменной $x$, помня, что $y=2x$:

1. $\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = 1$. Отсюда $2x = 2\pi k$, то есть $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $4\cos^2 2x - 3 = 0 \implies \cos^2 2x = \frac{3}{4}$. Снова применим формулу понижения степени: $\frac{1+\cos 4x}{2} = \frac{3}{4}$. Отсюда $1+\cos 4x = \frac{3}{2}$, $\cos 4x = \frac{1}{2}$. Решением этого уравнения является $4x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, то есть $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin^3 x \sin 3x + \cos^3 x \cos 3x = \cos^3 4x$

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы тройного угла $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ и $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$:

$\sin^3 x (3\sin x - 4\sin^3 x) + \cos^3 x (4\cos^3 x - 3\cos x)$

$= 3\sin^4 x - 4\sin^6 x + 4\cos^6 x - 3\cos^4 x$

$= 4(\cos^6 x - \sin^6 x) - 3(\cos^4 x - \sin^4 x)$

Упростим выражения в скобках:

$\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2x \cdot 1 = \cos 2x$.

$\cos^6 x - \sin^6 x = (\cos^2 x)^3 - (\sin^2 x)^3 = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^4 x + \cos^2 x \sin^2 x + \sin^4 x) = \cos 2x((\cos^2 x + \sin^2 x)^2 - \cos^2 x \sin^2 x) = \cos 2x(1 - \frac{\sin^2 2x}{4})$.

Подставим упрощенные выражения обратно:

$4\cos 2x(1 - \frac{\sin^2 2x}{4}) - 3\cos 2x = 4\cos 2x - \cos 2x \sin^2 2x - 3\cos 2x$

$= \cos 2x - \cos 2x \sin^2 2x = \cos 2x(1 - \sin^2 2x) = \cos 2x \cdot \cos^2 2x = \cos^3 2x$.

Таким образом, исходное уравнение сводится к виду:

$\cos^3 2x = \cos^3 4x$

Поскольку функция $y=t^3$ является строго возрастающей, равенство кубов аргументов влечет за собой равенство самих аргументов:

$\cos 2x = \cos 4x$

$\cos 4x - \cos 2x = 0$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$-2\sin\frac{4x+2x}{2}\sin\frac{4x-2x}{2} = 0$

$-2\sin 3x \sin x = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin x = 0 \implies x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Первое множество решений является подмножеством второго (при $n=3k$), следовательно, все решения описываются второй формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

32.24. Решите уравнение:

1) $\sin^3 x + \sin 3x = \frac{3\sqrt{3}}{4}\sin 2x$;

2) $\cos 6x + 8\cos 2x - 4\cos 4x - 5 = 0.$

1) $sin^3x + sin3x = \frac{3\sqrt{3}}{4}sin2x$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса тройного угла $sin3x = 3sinx - 4sin^3x$. Подставим это выражение в левую часть уравнения:

$sin^3x + (3sinx - 4sin^3x) = 3sinx - 3sin^3x$

Вынесем общий множитель $3sinx$ за скобки:

$3sinx(1 - sin^2x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, получаем $1 - sin^2x = cos^2x$. Таким образом, левая часть уравнения равна:

$3sinx \cdot cos^2x$

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$\frac{3\sqrt{3}}{4}sin2x = \frac{3\sqrt{3}}{4}(2sinxcosx) = \frac{3\sqrt{3}}{2}sinxcosx$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части уравнения:

$3sinxcos^2x = \frac{3\sqrt{3}}{2}sinxcosx$

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$3sinxcos^2x - \frac{3\sqrt{3}}{2}sinxcosx = 0$

$3sinxcosx(cosx - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности трех уравнений:

1. $sinx = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

3. $cosx - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies cosx = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$

Первые две серии решений ($x = \pi n$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$) можно объединить в одну общую серию $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $cos6x + 8cos2x - 4cos4x - 5 = 0$

Сведем все тригонометрические функции к одному аргументу $2x$. Для этого воспользуемся формулами косинуса двойного и тройного углов:

$cos4x = cos(2 \cdot 2x) = 2cos^2(2x) - 1$

$cos6x = cos(3 \cdot 2x) = 4cos^3(2x) - 3cos(2x)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(4cos^3(2x) - 3cos(2x)) + 8cos(2x) - 4(2cos^2(2x) - 1) - 5 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4cos^3(2x) - 3cos(2x) + 8cos(2x) - 8cos^2(2x) + 4 - 5 = 0$

$4cos^3(2x) - 8cos^2(2x) + 5cos(2x) - 1 = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $y = cos2x$, где $|y| \le 1$. Уравнение примет вид:

$4y^3 - 8y^2 + 5y - 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Найдем его корни подбором среди делителей свободного члена, деленных на делители старшего коэффициента. Проверим $y=1$:

$4(1)^3 - 8(1)^2 + 5(1) - 1 = 4 - 8 + 5 - 1 = 0$. Значит, $y=1$ является корнем.

Разделим многочлен $4y^3 - 8y^2 + 5y - 1$ на $(y-1)$ столбиком или по схеме Горнера. В результате деления получим квадратный трехчлен $4y^2 - 4y + 1$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(y-1)(4y^2 - 4y + 1) = 0$

Выражение во второй скобке является полным квадратом: $4y^2 - 4y + 1 = (2y-1)^2$.

$(y-1)(2y-1)^2 = 0$

Отсюда находим корни для $y$:

1. $y - 1 = 0 \implies y = 1$

2. $(2y - 1)^2 = 0 \implies 2y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|y| \le 1$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $cos2x = 1 \implies 2x = 2\pi n \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $cos2x = \frac{1}{2} \implies 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

32.25. Решите уравнение:

1) $\sqrt{-\cos 2x} = -\sqrt{2} \cos x$;

2) $\sqrt{2-3\cos 2x} = \sqrt{\sin x}$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{-\cos(2x)} = -\sqrt{2}\cos(x)$.

Уравнение вида $\sqrt{A} = B$ равносильно системе $\begin{cases} B \ge 0 \\ A = B^2 \end{cases}$. В данном случае также должно выполняться условие $A \ge 0$, но оно автоматически следует из второго уравнения системы, так как $A$ приравнивается к квадрату выражения $B$.

Запишем систему для нашего уравнения:

$\begin{cases} -\sqrt{2}\cos x \ge 0 \\ -\cos(2x) = (-\sqrt{2}\cos x)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем условие: $\cos x \le 0$. Это означает, что $x$ должен находиться во II или III координатной четверти (включая границы).

Решим второе уравнение системы:

$-\cos(2x) = 2\cos^2 x$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:

$-(2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$

$-2\cos^2 x + 1 = 2\cos^2 x$

$4\cos^2 x = 1$

$\cos^2 x = \frac{1}{4}$

Отсюда $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{2}$.

С учетом условия $\cos x \le 0$, выбираем только корень $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Решениями этого уравнения являются:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Эти значения $x$ соответствуют углам во II и III четвертях, поэтому условие $\cos x \le 0$ выполнено. Проверим также неявное условие ОДЗ: $-\cos(2x) \ge 0$. Подставим найденное значение $\cos^2 x = 1/4$ в выражение для $\cos(2x)$: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 = 2(\frac{1}{4}) - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$. Так как $\cos(2x) = -1/2$, то $-\cos(2x) = 1/2 \ge 0$, и ОДЗ выполняется.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{2 - 3\cos(2x)} = \sqrt{\sin x}$.

Уравнение вида $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ равносильно системе $\begin{cases} A = B \\ A \ge 0 \end{cases}$ (или $B \ge 0$, что в данном случае проще).

Запишем систему для нашего уравнения:

$\begin{cases} 2 - 3\cos(2x) = \sin x \\ \sin x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Для этого выразим $\cos(2x)$ через $\sin x$ по формуле $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$:

$2 - 3(1 - 2\sin^2 x) = \sin x$

$2 - 3 + 6\sin^2 x = \sin x$

$6\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Уравнение принимает вид:

$6t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Оба значения входят в область допустимых значений для синуса $[-1, 1]$. Возвращаемся к исходной переменной:

$\sin x = -\frac{1}{3}$ или $\sin x = \frac{1}{2}$.

Теперь применим условие из системы: $\sin x \ge 0$.

Корень $\sin x = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.

Остается решить уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$.

Его решения можно записать в виде $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют условию $\sin x \ge 0$, а значит, и ОДЗ исходного уравнения.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

32.26. Решите уравнение:

1) $\sqrt{10 - 18\cos x} = 6\cos x - 2;$

2) $\sqrt{3 + 4\cos 2x} = \sqrt{2}\cos x.$

Дано уравнение $\sqrt{10 - 18\cos x} = 6\cos x - 2$.
Это иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$, которое равносильно системе:
$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$
В нашем случае:
$\begin{cases} 10 - 18\cos x = (6\cos x - 2)^2 \\ 6\cos x - 2 \ge 0 \end{cases}$
Решим сначала неравенство:
$6\cos x - 2 \ge 0$
$6\cos x \ge 2$
$\cos x \ge \frac{1}{3}$
Теперь решим уравнение. Сделаем замену $t = \cos x$. Уравнение примет вид:
$10 - 18t = (6t - 2)^2$
$10 - 18t = 36t^2 - 24t + 4$
$36t^2 - 24t + 18t + 4 - 10 = 0$
$36t^2 - 6t - 6 = 0$
Разделим обе части на 6:
$6t^2 - t - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$
Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge \frac{1}{3}$.
Для $t_1 = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \ge \frac{1}{3}$ (верно, так как $3 \ge 2$). Этот корень подходит.
Для $t_2 = -\frac{1}{3}$: $-\frac{1}{3} \ge \frac{1}{3}$ (неверно). Этот корень является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\cos x = \frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $\sqrt{3 + 4\cos 2x} = \sqrt{2}\cos x$.
Поскольку левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной. Это накладывает ограничение:
$\sqrt{2}\cos x \ge 0 \Rightarrow \cos x \ge 0$.
Также подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным: $3 + 4\cos 2x \ge 0$.
При условии $\cos x \ge 0$ возведем обе части уравнения в квадрат:
$3 + 4\cos 2x = (\sqrt{2}\cos x)^2$
$3 + 4\cos 2x = 2\cos^2 x$
Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
$3 + 4(2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$
$3 + 8\cos^2 x - 4 = 2\cos^2 x$
$8\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x$
$6\cos^2 x = 1$
$\cos^2 x = \frac{1}{6}$
$\cos x = \pm\sqrt{\frac{1}{6}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{6}$
Учитывая ограничение $\cos x \ge 0$, выбираем только положительное значение:
$\cos x = \frac{\sqrt{6}}{6}$
Проверим второе условие $3 + 4\cos 2x \ge 0$.
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2 \cdot \frac{1}{6} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.
$3 + 4\left(-\frac{2}{3}\right) = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$. Так как $\frac{1}{3} \ge 0$, условие выполняется.
Найдем решение уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{6}}{6}$:
$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

32.27. Решите уравнение

$2\sin 2x = 3(\sin x + \cos x)$

Дано уравнение $2\sin2x = 3(\sin x + \cos x)$.

Для решения используем формулу синуса двойного угла: $\sin2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим ее в исходное уравнение:

$2(2\sin x \cos x) = 3(\sin x + \cos x)$

$4\sin x \cos x = 3(\sin x + \cos x)$

Введем замену переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Чтобы выразить произведение $\sin x \cos x$ через $t$, возведем обе части замены в квадрат:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$t^2 = 1 + 2\sin x \cos x$

Отсюда выражаем $2\sin x \cos x = t^2 - 1$, а значит $4\sin x \cos x = 2(t^2 - 1)$.

Теперь подставим выражения с $t$ в преобразованное уравнение:

$2(t^2 - 1) = 3t$

Получили квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь необходимо выполнить обратную замену. Вспомним, что $t = \sin x + \cos x$.

Найдем множество значений выражения $\sin x + \cos x$, используя метод вспомогательного угла:

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Так как $-1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то $-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}$.

Следовательно, $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

Проверим наши корни $t_1$ и $t_2$:

1. $t_1 = 2$. Этот корень не подходит, так как $2 > \sqrt{2}$ (поскольку $4 > 2$). Уравнение $\sin x + \cos x = 2$ не имеет решений.

2. $t_2 = -\frac{1}{2}$. Этот корень подходит, так как $-\sqrt{2} \le -\frac{1}{2} \le \sqrt{2}$.

Решаем уравнение:

$\sin x + \cos x = -\frac{1}{2}$

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

Общее решение для уравнения $\sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, то:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \left(-\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right) + \pi n$

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n$

Окончательно находим $x$:

$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

32.28. Решите уравнение $\sin 2x + 5(\sin x + \cos x) = 0.$

Для решения данного уравнения введем замену переменной. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Чтобы выразить $\sin(2x)$ через $t$, возведем в квадрат обе части равенства $t = \sin x + \cos x$:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, получим:

$t^2 = 1 + \sin(2x)$

Отсюда следует, что $\sin(2x) = t^2 - 1$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(t^2 - 1) + 5t = 0$

$t^2 + 5t - 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 25 + 4 = 29$

Корни уравнения равны:

$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2}$

$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{29}}{2}$

Далее необходимо проверить, какие значения может принимать переменная $t$. Преобразуем выражение $t = \sin x + \cos x$ с помощью метода вспомогательного угла:

$t = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x\right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Поскольку область значений синуса - это отрезок $[-1, 1]$, то область значений для $t$ - это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни $t_1$ и $t_2$ этому отрезку. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $5 < \sqrt{29} < 6$, то:

$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2} \approx \frac{-5 + 5.39}{2} = 0.195$. Это значение входит в отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{29}}{2} \approx \frac{-5 - 5.39}{2} = -5.195$. Это значение не входит в отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Таким образом, корень $t_2$ является посторонним. Выполним обратную замену для $t_1$:

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2}$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{29} - 5}{2\sqrt{2}}$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{29} - 5}{2\sqrt{2}}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{29} - 5}{2\sqrt{2}}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{29} - 5}{2\sqrt{2}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

32.29. Решите уравнение:

1) $\sin^3 x + \cos^3 x = 1$;

2) $\frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x} + 2 \cdot \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = 3.$

1) $\sin^3 x + \cos^3 x = 1$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \sin x$ и $b = \cos x$.

$(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = 1$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, уравнение принимает вид:

$(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 1$

Сделаем замену. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$.

Отсюда выразим $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

Подставим выражения для $t$ и $\sin x \cos x$ в уравнение:

$t \left(1 - \frac{t^2 - 1}{2}\right) = 1$

$t \left(\frac{2 - (t^2 - 1)}{2}\right) = 1$

$t \left(\frac{3 - t^2}{2}\right) = 1$

$3t - t^3 = 2$

$t^3 - 3t + 2 = 0$

Это кубическое уравнение относительно $t$. Найдем его корни подбором среди делителей свободного члена (числа 2), то есть $\pm 1, \pm 2$.

При $t=1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем.

При $t=-2$: $(-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$. Значит, $t=-2$ является корнем.

Разложим многочлен на множители: $(t-1)(t-1)(t+2) = (t-1)^2(t+2) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Вернемся к замене $t = \sin x + \cos x$.

Выражение $\sin x + \cos x$ можно представить в виде $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Значения этого выражения лежат в отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$.

Случай 1: $\sin x + \cos x = -2$.

Так как $-2 < -\sqrt{2}$, это уравнение не имеет решений.

Случай 2: $\sin x + \cos x = 1$.

Преобразуем: $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Отсюда получаем две серии решений:

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x} + 2 \cdot \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $1 - \sin 2x \ne 0 \implies \sin 2x \ne 1 \implies 2x \ne \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $1 - \operatorname{tg} x \ne 0 \implies \operatorname{tg} x \ne 1 \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Тангенс должен быть определен, значит $\cos x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем первое слагаемое, используя формулы $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.

$1 - \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$.

Тогда $\frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x} = \frac{(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)^2} = \left(\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}\right)^2$.

Разделим числитель и знаменатель дроби в скобках на $\cos x$ (так как $\cos x \ne 0$ по ОДЗ):

$\left(\frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x}}\right)^2 = \left(\frac{\operatorname{tg} x + 1}{\operatorname{tg} x - 1}\right)^2 = \left(\frac{1 + \operatorname{tg} x}{-(1 - \operatorname{tg} x)}\right)^2 = \left(\frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x}\right)^2$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\left(\frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = 3$.

Сделаем замену $y = \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x}$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y - 3 = 0$.

Это квадратное уравнение, корни которого $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 1$.

$\frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = 1 \implies 1 + \operatorname{tg} x = 1 - \operatorname{tg} x \implies 2\operatorname{tg} x = 0 \implies \operatorname{tg} x = 0$.

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = -3$.

$\frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = -3 \implies 1 + \operatorname{tg} x = -3(1 - \operatorname{tg} x) \implies 1 + \operatorname{tg} x = -3 + 3\operatorname{tg} x$.

$4 = 2\operatorname{tg} x \implies \operatorname{tg} x = 2$.

$x = \operatorname{arctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \pi k, x = \operatorname{arctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

32.30. Решите уравнение $ \sin x + \cos x = 1 + \sin x \cos x $.

Дано тригонометрическое уравнение:

$\sin x + \cos x = 1 + \sin x \cos x$

Для его решения перенесем все члены в левую часть:

$\sin x + \cos x - 1 - \sin x \cos x = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы выполнить разложение на множители:

$(\sin x - 1) + (\cos x - \sin x \cos x) = 0$

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $\cos x$:

$(\sin x - 1) + \cos x (1 - \sin x) = 0$

Заметим, что выражение в первой скобке можно представить как $- (1 - \sin x)$. Подставим это в уравнение:

$-(1 - \sin x) + \cos x (1 - \sin x) = 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(1 - \sin x)$ за скобки:

$(1 - \sin x)(\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум независимым уравнениям:

1. $1 - \sin x = 0$

$\sin x = 1$

Решение этого уравнения имеет вид:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - 1 = 0$

$\cos x = 1$

Решение этого уравнения имеет вид:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения обоих уравнений, мы получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

32.31. При каких положительных значениях параметра $a$ промежуток $[0; a]$ содержит ровно три корня уравнения:

1) $2 \sin^2 x - \sin x = 0$;

2) $2 \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x = 0?$

1)

Сначала решим уравнение $2\sin^2x - \sin x = 0$.

Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x(2\sin x - 1) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $\sin x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin x - 1 = 0$, то есть $\sin x = \frac{1}{2}$, откуда получаем серию корней $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нам необходимо найти такие положительные значения параметра $a$, чтобы промежуток $[0; a]$ содержал ровно три корня. Для этого найдем все неотрицательные корни уравнения и расположим их в порядке возрастания.

Неотрицательные корни из серии $x = \pi k$: $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$

Неотрицательные корни из серии $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$: $\frac{\pi}{6}$ (при n=0), $\frac{5\pi}{6}$ (при n=1), $\frac{13\pi}{6}$ (при n=2), и так далее.

Объединим обе серии корней и упорядочим их по возрастанию:

$x_1 = 0$

$x_2 = \frac{\pi}{6}$

$x_3 = \frac{5\pi}{6}$

$x_4 = \pi$

$x_5 = 2\pi$

...и так далее.

Промежуток $[0; a]$ должен содержать ровно три корня. Это должны быть первые три неотрицательных корня: $x_1=0$, $x_2=\frac{\pi}{6}$ и $x_3=\frac{5\pi}{6}$.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал эти три корня, его правая граница $a$ должна быть не меньше, чем третий корень: $a \ge \frac{5\pi}{6}$.

В то же время, чтобы в промежуток не попал четвертый корень $x_4=\pi$, правая граница $a$ должна быть строго меньше него: $a < \pi$.

Объединяя эти два условия, получаем: $\frac{5\pi}{6} \le a < \pi$.

Ответ: $a \in [\frac{5\pi}{6}; \pi)$.

2)

Сначала решим уравнение $2\cos^2x - \sqrt{3}\cos x = 0$.

Вынесем $\cos x$ за скобки: $\cos x(2\cos x - \sqrt{3}) = 0$.

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

а) $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos x - \sqrt{3} = 0$, то есть $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда получаем серию корней $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нам необходимо найти такие положительные значения параметра $a$, чтобы промежуток $[0; a]$ содержал ровно три корня. Для этого найдем все неотрицательные корни уравнения и расположим их в порядке возрастания.

Неотрицательные корни из серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$

Неотрицательные корни из серии $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: $\frac{\pi}{6}$ (при n=0), $\frac{11\pi}{6}$ (при n=1), $\frac{13\pi}{6}$ (при n=1), и так далее.

Объединим обе серии корней и упорядочим их по возрастанию:

$x_1 = \frac{\pi}{6}$

$x_2 = \frac{\pi}{2}$

$x_3 = \frac{3\pi}{2}$

$x_4 = \frac{11\pi}{6}$

$x_5 = \frac{13\pi}{6}$

...и так далее.

Промежуток $[0; a]$ должен содержать ровно три корня. Это должны быть первые три неотрицательных корня: $x_1=\frac{\pi}{6}$, $x_2=\frac{\pi}{2}$ и $x_3=\frac{3\pi}{2}$.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал эти три корня, его правая граница $a$ должна быть не меньше, чем третий корень: $a \ge \frac{3\pi}{2}$.

В то же время, чтобы в промежуток не попал четвертый корень $x_4=\frac{11\pi}{6}$, правая граница $a$ должна быть строго меньше него: $a < \frac{11\pi}{6}$.

Объединяя эти два условия, получаем: $\frac{3\pi}{2} \le a < \frac{11\pi}{6}$.

Ответ: $a \in [\frac{3\pi}{2}; \frac{11\pi}{6})$.