Страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.32. Определите, при каких положительных значениях параметра $a$ промежуток $[0; a]$ содержит ровно $n$ корней уравнения:

1) $2\sin^2 x + \sin x = 0, n = 4;$

2) $2\cos^2 x + \cos x = 0, n = 3.$

1)

Сначала решим уравнение $2\sin^2x + \sin x = 0$. Для этого вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\sin x + 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\sin x = 0$, откуда получаем серию корней $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $2\sin x + 1 = 0$, то есть $\sin x = -1/2$. Отсюда получаем две серии корней: $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Согласно условию, нам необходимо найти все положительные значения параметра $a$, при которых промежуток $[0; a]$ содержит ровно $n=4$ корня. Для этого выпишем все неотрицательные корни уравнения в порядке возрастания.

Из серии $x = k\pi$ получаем корни: $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots$

Из серии $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ (при $k \ge 0$) получаем корни: $\frac{7\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}, \ldots$

Из серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ (при $k \ge 1$) получаем корни: $\frac{11\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}, \ldots$

Объединим все найденные неотрицательные корни и расположим их в порядке возрастания:

$x_1 = 0$

$x_2 = \pi$

$x_3 = \frac{7\pi}{6}$

$x_4 = \frac{11\pi}{6}$

$x_5 = 2\pi$

... и так далее.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал ровно 4 корня, он должен включать четвертый корень ($x_4$), но не включать пятый ($x_5$). Это означает, что правая граница промежутка $a$ должна удовлетворять неравенству $x_4 \le a < x_5$.

Подставляя значения $x_4$ и $x_5$, получаем искомый диапазон для $a$:

$\frac{11\pi}{6} \le a < 2\pi$.

Ответ: $a \in [\frac{11\pi}{6}; 2\pi)$.

2)

Решим уравнение $2\cos^2x + \cos x = 0$. Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\cos x + 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $2\cos x + 1 = 0$, то есть $\cos x = -1/2$. Отсюда получаем серию корней $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

По условию, промежуток $[0; a]$ должен содержать ровно $n=3$ корня. Найдем неотрицательные корни уравнения и расположим их в порядке возрастания.

Из серии $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (при $k \ge 0$) получаем корни: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots$

Из серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ (при $k \ge 0$) получаем корни: $\frac{2\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \ldots$

Из серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ (при $k \ge 1$) получаем корни: $\frac{4\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \ldots$

Объединим все найденные неотрицательные корни и расположим их в порядке возрастания, сравнив их величины (например, приведя к общему знаменателю 6):

$x_1 = \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$

$x_2 = \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$

$x_3 = \frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6}$

$x_4 = \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$

... и так далее.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал ровно 3 корня, он должен включать третий корень ($x_3$), но не включать четвертый ($x_4$). Это означает, что правая граница промежутка $a$ должна удовлетворять неравенству $x_3 \le a < x_4$.

Подставляя значения $x_3$ и $x_4$, получаем искомый диапазон для $a$:

$\frac{4\pi}{3} \le a < \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $a \in [\frac{4\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$.

32.33. Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение $\sin^2x - \left(a + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\sin x + \frac{a\sqrt{2}}{2} = 0$ имеет на промежутке $\left[0; \frac{4\pi}{3}\right]$:

1) два корня;

2) три корня;

3) не менее трёх корней.

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$. Уравнение примет вид:$t^2 - \left(a + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)t + \frac{a\sqrt{2}}{2} = 0$.

Это стандартное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна $a + \frac{\sqrt{2}}{2}$, а их произведение равно $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Отсюда следует, что корнями уравнения являются $t_1 = a$ и $t_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность двух уравнений:$\sin x = a$ или $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдём количество корней каждого уравнения на заданном промежутке $x \in \left[0; \frac{4\pi}{3}\right]$.

Сначала решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $\left[0; \frac{4\pi}{3}\right]$. Оно имеет два корня: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Оба корня принадлежат указанному промежутку, поэтому это уравнение всегда дает два различных корня.

Теперь проанализируем число корней уравнения $\sin x = a$ на промежутке $\left[0; \frac{4\pi}{3}\right]$. На этом промежутке функция $\sin x$ принимает все значения из отрезка $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right]$.

Число корней уравнения $\sin x = a$ зависит от значения $a$:

- Если $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $a > 1$, уравнение $\sin x = a$ не имеет корней на данном промежутке.

- Если $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $a = 1$, уравнение имеет один корень ($x = \frac{4\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ соответственно).

- Если $a \in \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0\right)$, уравнение имеет один корень.

- Если $a \in [0, 1)$, уравнение имеет два корня.

Общее число корней исходного уравнения равно сумме корней этих двух уравнений, при этом нужно учесть случай, когда их корни совпадают. Это происходит при $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проанализируем общее количество корней в зависимости от $a$:

- Если $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $a > 1$, уравнение $\sin x = a$ не имеет корней. Общее число корней равно 2.

- Если $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, уравнения совпадают, и мы имеем 2 корня.

- Если $a \in \left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \cup \{1\}$, уравнение $\sin x = a$ имеет один корень, не совпадающий с корнями уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее число корней: $2 + 1 = 3$.

- Если $a \in [0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$, уравнение $\sin x = a$ имеет два корня, не совпадающих с корнями уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее число корней: $2 + 2 = 4$.

1) два корня

Уравнение имеет два корня, если уравнение $\sin x = a$ либо не имеет решений на данном промежутке, либо его решения совпадают с решениями уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это происходит при $a < -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $a > 1$, или при $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup \{\frac{\sqrt{2}}{2}\} \cup (1; +\infty)$.

2) три корня

Уравнение имеет три корня, если уравнение $\sin x = a$ имеет ровно один корень на данном промежутке, и этот корень не совпадает с корнями уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это выполняется при $a \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ и при $a = 1$.

Ответ: $a \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0) \cup \{1\}$.

3) не менее трёх корней

Уравнение имеет не менее трёх корней, если оно имеет три или четыре корня. Это соответствует случаям, когда уравнение $\sin x = a$ имеет один или два корня, отличных от корней уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это выполняется для всех $a$ из отрезка $[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1]$, за исключением значения $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$, при котором общее число корней равно двум.

Ответ: $a \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$.

32.34. Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение

$\cos^2 x - \left(a - \frac{1}{3}\right)\cos x - \frac{a}{3} = 0$ имеет на промежутке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}\right]$:

1) два корня;

2) три корня;

3) не менее трёх корней.

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos{x}$. Сделаем замену $t = \cos{x}$. Поскольку $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}]$, то $t$ принимает значения из отрезка $[-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

Уравнение примет вид:$t^2 - (a - \frac{1}{3})t - \frac{a}{3} = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = a - \frac{1}{3}$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = -\frac{a}{3}$. Легко подобрать корни: $t_1 = a$ и $t_2 = -\frac{1}{3}$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:$\cos{x} = a$$\cos{x} = -\frac{1}{3}$

Нам нужно найти количество корней на промежутке $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}]$. Проанализируем поведение функции $y = \cos{x}$ на этом промежутке.

• На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \pi]$ функция $\cos{x}$ монотонно убывает от $\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ до $\cos(\pi)=-1$.
• На отрезке $[\pi, \frac{5\pi}{3}]$ функция $\cos{x}$ монотонно возрастает от $\cos(\pi)=-1$ до $\cos(\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2}$.

Таким образом, для уравнения $\cos{x} = t$ на промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}]$:

• при $t \in (-1, \frac{1}{2})$ будет два корня;
• при $t = -1$ или $t \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ будет один корень;
• при $t < -1$ или $t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ корней не будет.

Рассмотрим второе уравнение совокупности: $\cos{x} = -\frac{1}{3}$. Поскольку $-1 < -\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, это уравнение всегда имеет ровно два корня на заданном промежутке.

Теперь проанализируем первое уравнение: $\cos{x} = a$. Количество его корней зависит от значения $a$. Общее число корней исходного уравнения — это сумма корней от каждого уравнения совокупности. При этом нужно учесть случай, когда корни совпадают, то есть $a = -\frac{1}{3}$.

1) два корня

Уравнение будет иметь два корня в двух случаях:
а) Корни совокупности совпадают. Это происходит при $a = -\frac{1}{3}$. В этом случае мы имеем одно уравнение $\cos{x} = -\frac{1}{3}$, которое, как мы выяснили, дает два корня на заданном промежутке.
б) Уравнение $\cos{x} = -\frac{1}{3}$ дает два корня, а уравнение $\cos{x} = a$ не дает корней (при условии, что $a \neq -\frac{1}{3}$). Это происходит, когда значение $a$ лежит вне области значений функции $\cos{x}$ на данном промежутке, то есть $a < -1$ или $a > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Объединяя эти случаи, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty) \cup \{-\frac{1}{3}\}$

2) три корня

Чтобы общее число корней было равно трем, необходимо, чтобы уравнение $\cos{x} = -\frac{1}{3}$ давало два корня, а уравнение $\cos{x} = a$ давало один корень (при $a \neq -\frac{1}{3}$).Уравнение $\cos{x} = a$ имеет один корень на промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}]$ в следующих случаях:
а) $a = -1$.
б) $a \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.
Значение $a = -\frac{1}{3}$ не входит в эти множества, поэтому условие $a \neq -\frac{1}{3}$ выполняется.

Ответ: $a = -1$ или $a \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

3) не менее трёх корней

Это означает, что уравнение должно иметь три или четыре корня. Случай, когда корней ровно три, мы рассмотрели в предыдущем пункте. Это происходит при $a = -1$ или $a \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

Четыре корня уравнение будет иметь, если уравнение $\cos{x} = -\frac{1}{3}$ дает два корня, и уравнение $\cos{x} = a$ тоже дает два корня (при $a \neq -\frac{1}{3}$).Уравнение $\cos{x} = a$ имеет два корня, если $a \in (-1, \frac{1}{2})$. Из этого интервала нужно исключить значение $a = -\frac{1}{3}$, при котором корни совпадают и общее число корней равно двум. Таким образом, для четырех корней $a \in (-1; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$.

Объединим множества значений $a$, при которых уравнение имеет три или четыре корня:$ (\{-1\} \cup [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]) \cup ((-1; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{1}{2})) $Получаем: $ [-1; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}] $.

Ответ: $a \in [-1; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$

32.35. При каких значениях параметра $a$ уравнения $\sin x = 2\sin^2 x$ и $\sin 3x = (a+1)\sin x - 2(a-1)\sin^2 x$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Сначала решим первое уравнение: $\sin x = 2\sin^2 x$. Перенесем все члены в одну сторону: $2\sin^2 x - \sin x = 0$. Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x (2\sin x - 1) = 0$. Отсюда получаем, что решениями первого уравнения являются все $x$, для которых $\sin x = 0$ или $\sin x = 1/2$.

Теперь преобразуем второе уравнение: $\sin 3x = (a+1)\sin x - 2(a-1)\sin^2 x$. Используем формулу синуса тройного угла $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ и подставим её в уравнение:$3\sin x - 4\sin^3 x = (a+1)\sin x - 2(a-1)\sin^2 x$.

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные слагаемые:$4\sin^3 x - 2(a-1)\sin^2 x + (a+1-3)\sin x = 0$,$4\sin^3 x - 2(a-1)\sin^2 x + (a-2)\sin x = 0$.

Вынесем $\sin x$ за скобки:$\sin x (4\sin^2 x - 2(a-1)\sin x + a-2) = 0$.

Это уравнение равносильно совокупности: $\sin x = 0$ или $4\sin^2 x - 2(a-1)\sin x + a-2 = 0$.

Для того чтобы исходные уравнения были равносильны, множество решений второго уравнения должно совпадать с множеством решений первого. Это означает, что совокупность значений $\sin x$, удовлетворяющих второму уравнению, должна приводить к тому же самому множеству корней $x$, что и совокупность $\sin x = 0$ или $\sin x = 1/2$.

Обозначим $t = \sin x$, где $t \in [-1, 1]$. Тогда второе уравнение приводит к совокупности $t=0$ или $4t^2 - 2(a-1)t + a-2 = 0$. Мы требуем, чтобы множество значений $t$, удовлетворяющих этой совокупности и лежащих в отрезке $[-1, 1]$, было в точности $\{0, 1/2\}$.

Рассмотрим квадратное уравнение $4t^2 - 2(a-1)t + a-2 = 0$. Проверим, является ли $t=1/2$ его корнем:$4(1/2)^2 - 2(a-1)(1/2) + a-2 = 4(1/4) - (a-1) + a-2 = 1 - a + 1 + a - 2 = 0$. Так как мы получили верное равенство $0=0$, $t=1/2$ является корнем этого уравнения при любом $a$.

Разложим левую часть квадратного уравнения на множители, зная один из корней:$4t^2 - 2(a-1)t + a-2 = (2t-1)(2t - (a-2))$. Тогда квадратное уравнение имеет корни $t_1=1/2$ и $t_2 = (a-2)/2$.

Следовательно, второе исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:$\sin x = 0$, $\sin x = 1/2$ и $\sin x = (a-2)/2$.

Чтобы эта совокупность была равносильна совокупности $\sin x = 0$ и $\sin x = 1/2$, необходимо, чтобы уравнение $\sin x = (a-2)/2$ либо не добавляло новых решений, либо его решения уже содержались в решениях первых двух уравнений. Это возможно в следующих случаях:

1. Уравнение $\sin x = (a-2)/2$ не имеет решений. Это происходит, когда $|(a-2)/2| > 1$, то есть $|a-2| > 2$. Это неравенство равносильно совокупности $a-2 > 2$ или $a-2 < -2$, откуда получаем $a > 4$ или $a < 0$.

2. Значение $(a-2)/2$ совпадает с одним из уже имеющихся значений $0$ или $1/2$. Если $(a-2)/2 = 0$, то $a-2=0$, откуда $a=2$. Если $(a-2)/2 = 1/2$, то $a-2=1$, откуда $a=3$.

Объединяя все найденные значения параметра $a$, получаем итоговый результат.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup \{2\} \cup \{3\} \cup (4, \infty)$.

32.36. При каких значениях параметра $a$ уравнения $sin2x + a = sinx + 2a cosx$ и $2cos2x + a^2 = 5a cosx - 2$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем множества решений каждого уравнения.

Рассмотрим первое уравнение:

$\sin(2x) + a = \sin x + 2a \cos x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x + a - \sin x - 2a \cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(2 \sin x \cos x - \sin x) + (a - 2a \cos x) = 0$

$\sin x (2 \cos x - 1) - a (2 \cos x - 1) = 0$

$(\sin x - a)(2 \cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, совокупность решений первого уравнения задается условиями:

$\sin x = a$ или $2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$

Обозначим множество решений первого уравнения как $S_1$. Оно является объединением решений уравнений $\sin x = a$ и $\cos x = \frac{1}{2}$.

$S_1 = \{x | \sin x = a\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

Рассмотрим второе уравнение:

$2 \cos(2x) + a^2 = 5a \cos x - 2$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1$:

$2(2 \cos^2 x - 1) + a^2 = 5a \cos x - 2$

$4 \cos^2 x - 2 + a^2 = 5a \cos x - 2$

$4 \cos^2 x - 5a \cos x + a^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Решим его. Пусть $t = \cos x$.

$4t^2 - 5at + a^2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot a^2 = 25a^2 - 16a^2 = 9a^2 = (3a)^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{5a - 3a}{2 \cdot 4} = \frac{2a}{8} = \frac{a}{4}$

$t_2 = \frac{5a + 3a}{2 \cdot 4} = \frac{8a}{8} = a$

Возвращаясь к замене, получаем, что совокупность решений второго уравнения задается условиями:

$\cos x = \frac{a}{4}$ или $\cos x = a$

Обозначим множество решений второго уравнения как $S_2$. Оно является объединением решений уравнений $\cos x = \frac{a}{4}$ и $\cos x = a$.

$S_2 = \{x | \cos x = \frac{a}{4}\} \cup \{x | \cos x = a\}$

Сравним множества решений $S_1$ и $S_2$:

Для равносильности уравнений необходимо, чтобы $S_1 = S_2$.

$\{x | \sin x = a\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} = \{x | \cos x = \frac{a}{4}\} \cup \{x | \cos x = a\}$

Множество $\{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$ непустое. Следовательно, оно должно содержаться в $S_2$. Это означает, что любое решение уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ должно быть решением хотя бы одного из уравнений $\cos x = a$ или $\cos x = \frac{a}{4}$. Это возможно в двух случаях:

1) $a = \frac{1}{2}$

2) $\frac{a}{4} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $a = \frac{1}{2}$

Подставим $a = \frac{1}{2}$ в выражения для $S_1$ и $S_2$:

$S_1 = \{x | \sin x = \frac{1}{2}\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

$S_2 = \{x | \cos x = \frac{1/2}{4}\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} = \{x | \cos x = \frac{1}{8}\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

Для равенства $S_1 = S_2$ необходимо, чтобы множества $\{x | \sin x = \frac{1}{2}\}$ и $\{x | \cos x = \frac{1}{8}\}$ совпадали. Однако, это не так. Например, $x = \frac{\pi}{6}$ является решением уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$, но $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{8}$. Значит, при $a = \frac{1}{2}$ уравнения не равносильны.

Случай 2: $\frac{a}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 2$

Подставим $a = 2$ в выражения для $S_1$ и $S_2$:

$S_1 = \{x | \sin x = 2\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

$S_2 = \{x | \cos x = \frac{2}{4}\} \cup \{x | \cos x = 2\} = \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} \cup \{x | \cos x = 2\}$

Уравнение $\sin x = 2$ не имеет действительных решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$. Таким образом, множество $\{x | \sin x = 2\}$ является пустым множеством $(\emptyset)$.

$S_1 = \emptyset \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} = \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

Аналогично, уравнение $\cos x = 2$ не имеет действительных решений. Множество $\{x | \cos x = 2\}$ также является пустым множеством $(\emptyset)$.

$S_2 = \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} \cup \emptyset = \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

В этом случае $S_1 = S_2$. Следовательно, при $a=2$ уравнения равносильны.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором данные уравнения равносильны, это $a=2$.

Ответ: $a=2$.