Страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.1. Решите уравнение:

1) $\sin 5x - \sin x = 0$;

2) $2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3} \sin x - \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0$.

1)

Дано уравнение $ \sin 5x - \sin x = 0 $.

Для решения воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

Применив эту формулу к нашему уравнению, получим:

$ 2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2} = 0 $

$ 2\sin 2x \cos 3x = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

а) $ \sin 2x = 0 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:

$ 2x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos 3x = 0 $

Решение этого уравнения:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Объединяя обе серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2} $; $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение $ 2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3}\sin x - \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, откуда следует, что $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:

$ (2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3}\sin x) - (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ 2\sin x(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) - 1(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) $:

$ (2\sin x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $ 2\sin x - 1 = 0 $

$ \sin x = \frac{1}{2} $

Решения этого уравнения:

$ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как для них $ \cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0 $.

б) $ \operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0 $

$ \operatorname{tg} x = -\sqrt{3} $

Решения этого уравнения:

$ x = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{3} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, так как тангенс для них определен.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $; $ x = -\frac{\pi}{3} + \pi m $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

33.2. Решите уравнение:

1) $ \cos 9x - \cos x = 0; $

2) $ \sqrt{2} \cos x \operatorname{ctg} x - 3\sqrt{2} \cos x + \operatorname{ctg} x - 3 = 0. $

1)

Исходное уравнение: $ \cos 9x - \cos x = 0 $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности косинусов:

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 9x $ и $ \beta = x $:

$ -2 \sin\frac{9x + x}{2} \sin\frac{9x - x}{2} = 0 $

$ -2 \sin\frac{10x}{2} \sin\frac{8x}{2} = 0 $

$ -2 \sin(5x) \sin(4x) = 0 $

Разделим обе части на -2:

$ \sin(5x) \sin(4x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \sin(5x) = 0 $

$ 5x = \pi k $, где $ k \in Z $ (Z - множество целых чисел).

$ x = \frac{\pi k}{5}, k \in Z $.

2. $ \sin(4x) = 0 $

$ 4x = \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}, k \in Z; \quad x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x + \ctg x - 3 = 0 $.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $ определена, когда $ \sin x \neq 0 $. Это означает, что $ x \neq \pi k, k \in Z $.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ (\sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x) + (\ctg x - 3) = 0 $

Из первой группы вынесем $ \sqrt{2} \cos x $:

$ \sqrt{2} \cos x (\ctg x - 3) + 1 \cdot (\ctg x - 3) = 0 $

Теперь вынесем за скобку общий множитель $ (\ctg x - 3) $:

$ (\sqrt{2} \cos x + 1)(\ctg x - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $ \sqrt{2} \cos x + 1 = 0 $

$ \sqrt{2} \cos x = -1 $

$ \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Решения этого уравнения: $ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in Z $.

$ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как они не являются целыми кратными $ \pi $.

2. $ \ctg x - 3 = 0 $

$ \ctg x = 3 $

Решение этого уравнения: $ x = \text{arcctg}(3) + \pi k, k \in Z $. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z; \quad x = \text{arcctg}(3) + \pi k, k \in Z $.

33.3. Решите уравнение:

1) $ \sin 5x = \cos 4x $;

2) $ \sin 10x - \cos 2x = 0 $.

1)

Исходное уравнение: $\sin(5x) = \cos(4x)$.

Для решения приведем обе части уравнения к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой приведения: $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Подставив ее в уравнение, получаем:

$\sin(5x) = \sin(\frac{\pi}{2} - 4x)$

Уравнение вида $\sin(A) = \sin(B)$ равносильно совокупности двух систем уравнений, где $k$ – любое целое число ($k \in Z$):

$A = B + 2\pi k \quad$ или $\quad A = \pi - B + 2\pi k$

Решим каждое уравнение из этой совокупности.

Первый случай:

$5x = \frac{\pi}{2} - 4x + 2\pi k$

$5x + 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$9x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}$

Второй случай:

$5x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 4x) + 2\pi k$

$5x = \pi - \frac{\pi}{2} + 4x + 2\pi k$

$5x - 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in Z$.

2)

Исходное уравнение: $\sin(10x) - \cos(2x) = 0$.

Перенесем $\cos(2x)$ в правую часть:

$\sin(10x) = \cos(2x)$

Как и в предыдущем задании, воспользуемся формулой приведения $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\sin(10x) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$

Данное уравнение равносильно совокупности двух серий решений, где $k \in Z$:

Первый случай:

$10x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k$

$12x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{2\pi k}{12}$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}$

Второй случай:

$10x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi k$

$10x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi k$

$10x - 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$8x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{2\pi k}{8}$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}, \quad x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in Z$.

33.4. Решите уравнение $\cos 5x + \sin 3x = 0$.

Для решения данного тригонометрического уравнения преобразуем его, чтобы использовать формулы преобразования суммы в произведение. Воспользуемся формулой приведения $ \sin(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.

Заменим $ \sin(3x) $ на $ \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) $. Исходное уравнение $ \cos(5x) + \sin(3x) = 0 $ примет вид:

$ \cos(5x) + \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) = 0 $

Теперь применим формулу суммы косинусов $ \cos(A) + \cos(B) = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) $.

В нашем случае $ A = 5x $ и $ B = \frac{\pi}{2} - 3x $.

$ 2 \cos(\frac{5x + \frac{\pi}{2} - 3x}{2}) \cos(\frac{5x - (\frac{\pi}{2} - 3x)}{2}) = 0 $

Упростим аргументы косинусов:

$ \frac{5x + \frac{\pi}{2} - 3x}{2} = \frac{2x + \frac{\pi}{2}}{2} = x + \frac{\pi}{4} $

$ \frac{5x - \frac{\pi}{2} + 3x}{2} = \frac{8x - \frac{\pi}{2}}{2} = 4x - \frac{\pi}{4} $

Уравнение принимает вид:

$ 2 \cos(x + \frac{\pi}{4}) \cos(4x - \frac{\pi}{4}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 $

2) $ \cos(4x - \frac{\pi}{4}) = 0 $

Решим каждое уравнение отдельно.

1) $ \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 $

Аргумент косинуса должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k $ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi $

$ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi $

$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos(4x - \frac{\pi}{4}) = 0 $

Аргумент косинуса должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n $ - любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

$ 4x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi $

$ 4x = \frac{3\pi}{4} + n\pi $

$ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{n\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Объединяя оба набора решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{n\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} $.

33.5. Решите уравнение:

1) $ \sin 2x + 2\sin x = \cos x + 1; $

2) $ 1 + \cos 8x = \cos 4x; $

3) $ 2\sin 2x + \cos 3x - \cos x = 0; $

4) $ \sin 4x + 2\cos^2 x = 1; $

5) $ \cos x - \cos 3x = 3\sin^2 x; $

6) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0. $

1) $sin(2x) + 2sin(x) = cos(x) + 1$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:

$2sin(x)cos(x) + 2sin(x) = cos(x) + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$2sin(x)cos(x) + 2sin(x) - cos(x) - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$2sin(x)(cos(x) + 1) - (cos(x) + 1) = 0$

$(2sin(x) - 1)(cos(x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $2sin(x) - 1 = 0 \implies sin(x) = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

б) $cos(x) + 1 = 0 \implies cos(x) = -1$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$; $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

2) $1 + cos(8x) = cos(4x)$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha)$. В данном случае $\alpha = 4x$:

$2cos^2(4x) = cos(4x)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $cos(4x)$:

$2cos^2(4x) - cos(4x) = 0$

$cos(4x)(2cos(4x) - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in Z$.

б) $2cos(4x) - 1 = 0 \implies cos(4x) = \frac{1}{2}$

$4x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n \implies 4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z$; $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

3) $2sin(2x) + cos(3x) - cos(x) = 0$

Применим формулу разности косинусов $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$cos(3x) - cos(x) = -2sin(\frac{3x+x}{2})sin(\frac{3x-x}{2}) = -2sin(2x)sin(x)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2sin(2x) - 2sin(2x)sin(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2sin(2x)$:

$2sin(2x)(1 - sin(x)) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $sin(2x) = 0$

$2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

б) $1 - sin(x) = 0 \implies sin(x) = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi k}{2}$) при $k=4n+1$. Поэтому достаточно указать только первую, более общую серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

4) $sin(4x) + 2cos^2(x) = 1$

Выразим $sin(4x)$: $sin(4x) = 1 - 2cos^2(x)$.

Из формулы косинуса двойного угла $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$ следует, что $1 - 2cos^2(x) = -cos(2x)$.

Тогда уравнение принимает вид:

$sin(4x) = -cos(2x)$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)$:

$2sin(2x)cos(2x) = -cos(2x)$

$2sin(2x)cos(2x) + cos(2x) = 0$

Вынесем $cos(2x)$ за скобки:

$cos(2x)(2sin(2x) + 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

б) $2sin(2x) + 1 = 0 \implies sin(2x) = -\frac{1}{2}$

$2x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$; $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

5) $cos(x) - cos(3x) = 3sin^2(x)$

Используем формулу разности косинусов $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$ для левой части:

$cos(x) - cos(3x) = -2sin(\frac{x+3x}{2})sin(\frac{x-3x}{2}) = -2sin(2x)sin(-x) = 2sin(2x)sin(x)$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:

$2(2sin(x)cos(x))sin(x) = 4sin^2(x)cos(x)$

Уравнение принимает вид:

$4sin^2(x)cos(x) = 3sin^2(x)$

$4sin^2(x)cos(x) - 3sin^2(x) = 0$

Вынесем $sin^2(x)$ за скобки:

$sin^2(x)(4cos(x) - 3) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $sin^2(x) = 0 \implies sin(x) = 0$

$x = \pi k$, где $k \in Z$.

б) $4cos(x) - 3 = 0 \implies cos(x) = \frac{3}{4}$

$x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pi k, k \in Z$; $x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in Z$.

6) $sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + sin(4x) = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(sin(4x) + sin(x)) + (sin(3x) + sin(2x)) = 0$.

Применим формулу суммы синусов $sin(\alpha) + sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$ к каждой группе:

$sin(4x) + sin(x) = 2sin(\frac{4x+x}{2})cos(\frac{4x-x}{2}) = 2sin(\frac{5x}{2})cos(\frac{3x}{2})$

$sin(3x) + sin(2x) = 2sin(\frac{3x+2x}{2})cos(\frac{3x-2x}{2}) = 2sin(\frac{5x}{2})cos(\frac{x}{2})$

Подставим в уравнение:

$2sin(\frac{5x}{2})cos(\frac{3x}{2}) + 2sin(\frac{5x}{2})cos(\frac{x}{2}) = 0$

Вынесем общий множитель $2sin(\frac{5x}{2})$:

$2sin(\frac{5x}{2})(cos(\frac{3x}{2}) + cos(\frac{x}{2})) = 0$

Теперь применим формулу суммы косинусов $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$ ко второму множителю:

$cos(\frac{3x}{2}) + cos(\frac{x}{2}) = 2cos(\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2})cos(\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}) = 2cos(x)cos(\frac{x}{2})$

Уравнение принимает вид:

$2sin(\frac{5x}{2}) \cdot 2cos(x)cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies 4sin(\frac{5x}{2})cos(x)cos(\frac{x}{2}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим три случая:

а) $sin(\frac{5x}{2}) = 0 \implies \frac{5x}{2} = \pi k \implies x = \frac{2\pi k}{5}$, где $k \in Z$.

б) $cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

в) $cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \pi + 2\pi m$, где $m \in Z$.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}, k \in Z$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = \pi + 2\pi m, m \in Z$.

33.6. Решите уравнение:

1) $ \sin 2x + 2\sin x = 0; $

2) $ \sin 2x - \cos x = 2\sin x - 1; $

3) $ 1 - \cos 8x = \sin 4x; $

4) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0; $

5) $ \cos 9x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x = 0; $

6) $ \sqrt{2} \cos 5x + \sin 3x - \sin 7x = 0. $

1) $ \sin 2x + 2\sin x = 0 $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x + 2\sin x = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2\sin x $ за скобки:

$ 2\sin x (\cos x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \sin x = 0 $ или $ \cos x + 1 = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \sin x = 0 $

$ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ \cos x = -1 $

$ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Заметим, что множество решений второго уравнения ($ k \in \mathbb{Z} $) является подмножеством решений первого уравнения (при нечетных $ n $). Следовательно, общее решение можно записать в виде $ x = \pi n $.

Ответ: $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin 2x - \cos x = 2\sin x - 1 $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x - \cos x = 2\sin x - 1 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2\sin x \cos x - \cos x - 2\sin x + 1 = 0 $

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$ (\cos x (2\sin x - 1)) - (2\sin x - 1) = 0 $

$ (\cos x - 1)(2\sin x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \cos x - 1 = 0 $ или $ 2\sin x - 1 = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \cos x = 1 $

$ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ \sin x = \frac{1}{2} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = 2\pi n; \ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z} $

3) $ 1 - \cos 8x = \sin 4x $

Используем формулу понижения степени $ 1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha $. В данном случае $ \alpha = 4x $:

$ 2\sin^2(4x) = \sin 4x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2\sin^2(4x) - \sin 4x = 0 $

Вынесем $ \sin 4x $ за скобки:

$ \sin 4x (2\sin 4x - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \sin 4x = 0 $ или $ 2\sin 4x - 1 = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \sin 4x = 0 $

$ 4x = \pi n $

$ x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ \sin 4x = \frac{1}{2} $

$ 4x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{4}; \ x = (-1)^k \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}, n, k \in \mathbb{Z} $

4) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin 2x \cos x + \sin 2x = 0 $

Вынесем $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (2\cos x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \sin 2x = 0 $ или $ 2\cos x + 1 = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n $

$ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ \cos x = -\frac{1}{2} $

$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}; \ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z} $

5) $ \cos 9x - \cos 7x + \cos 3x - \cos x = 0 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\cos 9x - \cos 7x) + (\cos 3x - \cos x) = 0 $

$ -2\sin\frac{9x+7x}{2}\sin\frac{9x-7x}{2} - 2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 0 $

$ -2\sin 8x \sin x - 2\sin 2x \sin x = 0 $

Вынесем общий множитель $ -2\sin x $ за скобки:

$ -2\sin x (\sin 8x + \sin 2x) = 0 $

Уравнение распадается на два:

$ \sin x = 0 $ или $ \sin 8x + \sin 2x = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение, используя формулу суммы синусов:

$ \sin 8x + \sin 2x = 0 $

$ 2\sin\frac{8x+2x}{2}\cos\frac{8x-2x}{2} = 0 $

$ 2\sin 5x \cos 3x = 0 $

Это уравнение распадается еще на два:

$ \sin 5x = 0 $ или $ \cos 3x = 0 $

Решаем $ \sin 5x = 0 $:

$ 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $

Решаем $ \cos 3x = 0 $:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $

Заметим, что решения $ x = \pi n $ являются частью решений $ x = \frac{\pi k}{5} $ (когда $ k $ кратно 5). Таким образом, общее решение - это совокупность решений $ x = \frac{\pi k}{5} $ и $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}; \ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, k, m \in \mathbb{Z} $

6) $ \sqrt{2}\cos 5x + \sin 3x - \sin 7x = 0 $

Перепишем уравнение, перенеся синусы в правую часть:

$ \sqrt{2}\cos 5x = \sin 7x - \sin 3x $

Применим формулу разности синусов $ \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $ к правой части:

$ \sin 7x - \sin 3x = 2\cos\frac{7x+3x}{2}\sin\frac{7x-3x}{2} = 2\cos 5x \sin 2x $

Подставим обратно в уравнение:

$ \sqrt{2}\cos 5x = 2\cos 5x \sin 2x $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель:

$ \sqrt{2}\cos 5x - 2\cos 5x \sin 2x = 0 $

$ \cos 5x (\sqrt{2} - 2\sin 2x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$ \cos 5x = 0 $ или $ \sqrt{2} - 2\sin 2x = 0 $

Решим первое уравнение:

$ \cos 5x = 0 $

$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение:

$ 2\sin 2x = \sqrt{2} $

$ \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ 2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}; \ x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, n, k \in \mathbb{Z} $

33.7. Решите уравнение:

1) $\sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{3x}{2} = 1;$

2) $\cos 2x - \cos 8x + \cos 6x = 1;$

3) $1 - \cos x = \operatorname{tg} x - \sin x;$

4) $\sin x + \sin 3x = 4\cos^2 x;$

5) $\cos 2x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x);$

6) $\sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x = 2\cos 5x.$

1) $ \sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{3x}{2} = 1 $

Используем формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:

$ \frac{1 - \cos x}{2} + \frac{1 - \cos(3x)}{2} = 1 $
$ 1 - \cos x + 1 - \cos(3x) = 2 $
$ 2 - (\cos x + \cos(3x)) = 2 $
$ \cos x + \cos(3x) = 0 $

Применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2 \cos \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} = 0 $
$ 2 \cos(2x) \cos(-x) = 0 $
Так как $ \cos(-x) = \cos x $, получаем:
$ \cos(2x) \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \cos(2x) = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 2x - \cos 8x + \cos 6x = 1 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов:

$ (\cos 6x + \cos 2x) - \cos 8x = 1 $
$ 2 \cos \frac{6x+2x}{2} \cos \frac{6x-2x}{2} - \cos 8x = 1 $
$ 2 \cos(4x) \cos(2x) - \cos 8x = 1 $

Используем формулу двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $ для $ \cos 8x $:

$ 2 \cos(4x) \cos(2x) - (2\cos^2(4x) - 1) = 1 $
$ 2 \cos(4x) \cos(2x) - 2\cos^2(4x) + 1 = 1 $
$ 2 \cos(4x) \cos(2x) - 2\cos^2(4x) = 0 $
$ 2 \cos(4x) (\cos(2x) - \cos(4x)) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos(4x) = 0 $
$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos(2x) - \cos(4x) = 0 \implies \cos(2x) = \cos(4x) $
Это равенство выполняется, если:
$ 4x = 2x + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
или
$ 4x = -2x + 2\pi m \implies 6x = 2\pi m \implies x = \frac{\pi m}{3}, \quad m \in \mathbb{Z} $
(Первая серия корней $ x = \pi k $ является подмножеством второй серии $ x = \frac{\pi m}{3} $ при $ m=3k $).

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $.

3) $ 1 - \cos x = \operatorname{tg} x - \sin x $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Заменим $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ 1 - \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x $
$ 1 - \cos x = \sin x (\frac{1}{\cos x} - 1) $
$ 1 - \cos x = \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} $
$ (1 - \cos x) - \frac{\sin x (1 - \cos x)}{\cos x} = 0 $
$ (1 - \cos x) (1 - \frac{\sin x}{\cos x}) = 0 $
$ (1 - \cos x) (1 - \operatorname{tg} x) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ 1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1 $
$ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

2. $ 1 - \operatorname{tg} x = 0 \implies \operatorname{tg} x = 1 $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sin x + \sin 3x = 4\cos^2 x $

Применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} = 4\cos^2 x $
$ 2 \sin(2x) \cos(-x) = 4\cos^2 x $
$ 2 \sin(2x) \cos x = 4\cos^2 x $

Используем формулу двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:

$ 2 (2 \sin x \cos x) \cos x = 4\cos^2 x $
$ 4 \sin x \cos^2 x = 4\cos^2 x $
$ 4 \sin x \cos^2 x - 4\cos^2 x = 0 $
$ 4\cos^2 x (\sin x - 1) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Вторая серия решений является подмножеством первой (при $ n = 2k $). Следовательно, общим решением является первая серия.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

5) $ \cos 2x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x) $

Используем формулу двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $:

$ \cos^2 x - \sin^2 x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x) $

Разложим левую часть как разность квадратов:

$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = \sqrt{2} (\cos x - \sin x) $
$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - \sqrt{2} (\cos x - \sin x) = 0 $
$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x $ (можно разделить на $ \cos x \neq 0 $, так как если $ \cos x=0 $, то и $ \sin x=0 $, что невозможно)
$ \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos x + \sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \cos x + \sin x = \sqrt{2} $ Используем метод вспомогательного угла, разделив на $ \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} $:
$ \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x = 1 $
$ \cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x = 1 $
$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1 $
$ x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Вторая серия решений является подмножеством первой (при $ n=2k $). Таким образом, общим решением является первая серия.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

6) $ \sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x = 2\cos 5x $

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла. Умножим и разделим на $ \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = 2 $:

$ 2(\frac{1}{2} \sin 3x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3x) = 2\cos 5x $
Так как $ \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3} $, получаем:
$ 2(\cos \frac{\pi}{3} \sin 3x + \sin \frac{\pi}{3} \cos 3x) = 2\cos 5x $
$ 2\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = 2\cos 5x $
$ \sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \cos 5x $

Используя формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, получим:
$ \sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x) $

Равенство $ \sin A = \sin B $ выполняется в двух случаях:

1. $ A = B + 2\pi n $
$ 3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi n $
$ 8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ 8x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ A = \pi - B + 2\pi k $
$ 3x + \frac{\pi}{3} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi k $
$ 3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k $
$ -2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
$ -2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
$ x = -\frac{\pi}{12} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{12} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.