Номер 33.4, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.4. Решите уравнение $\cos 5x + \sin 3x = 0$.

Для решения данного тригонометрического уравнения преобразуем его, чтобы использовать формулы преобразования суммы в произведение. Воспользуемся формулой приведения $ \sin(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $.

Заменим $ \sin(3x) $ на $ \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) $. Исходное уравнение $ \cos(5x) + \sin(3x) = 0 $ примет вид:

$ \cos(5x) + \cos(\frac{\pi}{2} - 3x) = 0 $

Теперь применим формулу суммы косинусов $ \cos(A) + \cos(B) = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) $.

В нашем случае $ A = 5x $ и $ B = \frac{\pi}{2} - 3x $.

$ 2 \cos(\frac{5x + \frac{\pi}{2} - 3x}{2}) \cos(\frac{5x - (\frac{\pi}{2} - 3x)}{2}) = 0 $

Упростим аргументы косинусов:

$ \frac{5x + \frac{\pi}{2} - 3x}{2} = \frac{2x + \frac{\pi}{2}}{2} = x + \frac{\pi}{4} $

$ \frac{5x - \frac{\pi}{2} + 3x}{2} = \frac{8x - \frac{\pi}{2}}{2} = 4x - \frac{\pi}{4} $

Уравнение принимает вид:

$ 2 \cos(x + \frac{\pi}{4}) \cos(4x - \frac{\pi}{4}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $ \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 $

2) $ \cos(4x - \frac{\pi}{4}) = 0 $

Решим каждое уравнение отдельно.

1) $ \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 $

Аргумент косинуса должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k $ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi $

$ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi $

$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos(4x - \frac{\pi}{4}) = 0 $

Аргумент косинуса должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n $ - любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

$ 4x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi $

$ 4x = \frac{3\pi}{4} + n\pi $

$ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{n\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Объединяя оба набора решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} $; $ x = \frac{3\pi}{16} + \frac{n\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} $.