Номер 33.5, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.5. Решите уравнение:

1) $ \sin 2x + 2\sin x = \cos x + 1; $

2) $ 1 + \cos 8x = \cos 4x; $

3) $ 2\sin 2x + \cos 3x - \cos x = 0; $

4) $ \sin 4x + 2\cos^2 x = 1; $

5) $ \cos x - \cos 3x = 3\sin^2 x; $

6) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0. $

1) $sin(2x) + 2sin(x) = cos(x) + 1$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:

$2sin(x)cos(x) + 2sin(x) = cos(x) + 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$2sin(x)cos(x) + 2sin(x) - cos(x) - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$2sin(x)(cos(x) + 1) - (cos(x) + 1) = 0$

$(2sin(x) - 1)(cos(x) + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $2sin(x) - 1 = 0 \implies sin(x) = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

б) $cos(x) + 1 = 0 \implies cos(x) = -1$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$; $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.

2) $1 + cos(8x) = cos(4x)$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha)$. В данном случае $\alpha = 4x$:

$2cos^2(4x) = cos(4x)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $cos(4x)$:

$2cos^2(4x) - cos(4x) = 0$

$cos(4x)(2cos(4x) - 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in Z$.

б) $2cos(4x) - 1 = 0 \implies cos(4x) = \frac{1}{2}$

$4x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n \implies 4x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in Z$; $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

3) $2sin(2x) + cos(3x) - cos(x) = 0$

Применим формулу разности косинусов $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$cos(3x) - cos(x) = -2sin(\frac{3x+x}{2})sin(\frac{3x-x}{2}) = -2sin(2x)sin(x)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2sin(2x) - 2sin(2x)sin(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2sin(2x)$:

$2sin(2x)(1 - sin(x)) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $sin(2x) = 0$

$2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

б) $1 - sin(x) = 0 \implies sin(x) = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Вторая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi k}{2}$) при $k=4n+1$. Поэтому достаточно указать только первую, более общую серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

4) $sin(4x) + 2cos^2(x) = 1$

Выразим $sin(4x)$: $sin(4x) = 1 - 2cos^2(x)$.

Из формулы косинуса двойного угла $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$ следует, что $1 - 2cos^2(x) = -cos(2x)$.

Тогда уравнение принимает вид:

$sin(4x) = -cos(2x)$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)$:

$2sin(2x)cos(2x) = -cos(2x)$

$2sin(2x)cos(2x) + cos(2x) = 0$

Вынесем $cos(2x)$ за скобки:

$cos(2x)(2sin(2x) + 1) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

б) $2sin(2x) + 1 = 0 \implies sin(2x) = -\frac{1}{2}$

$2x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$; $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

5) $cos(x) - cos(3x) = 3sin^2(x)$

Используем формулу разности косинусов $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$ для левой части:

$cos(x) - cos(3x) = -2sin(\frac{x+3x}{2})sin(\frac{x-3x}{2}) = -2sin(2x)sin(-x) = 2sin(2x)sin(x)$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:

$2(2sin(x)cos(x))sin(x) = 4sin^2(x)cos(x)$

Уравнение принимает вид:

$4sin^2(x)cos(x) = 3sin^2(x)$

$4sin^2(x)cos(x) - 3sin^2(x) = 0$

Вынесем $sin^2(x)$ за скобки:

$sin^2(x)(4cos(x) - 3) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $sin^2(x) = 0 \implies sin(x) = 0$

$x = \pi k$, где $k \in Z$.

б) $4cos(x) - 3 = 0 \implies cos(x) = \frac{3}{4}$

$x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pi k, k \in Z$; $x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in Z$.

6) $sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + sin(4x) = 0$

Сгруппируем слагаемые: $(sin(4x) + sin(x)) + (sin(3x) + sin(2x)) = 0$.

Применим формулу суммы синусов $sin(\alpha) + sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$ к каждой группе:

$sin(4x) + sin(x) = 2sin(\frac{4x+x}{2})cos(\frac{4x-x}{2}) = 2sin(\frac{5x}{2})cos(\frac{3x}{2})$

$sin(3x) + sin(2x) = 2sin(\frac{3x+2x}{2})cos(\frac{3x-2x}{2}) = 2sin(\frac{5x}{2})cos(\frac{x}{2})$

Подставим в уравнение:

$2sin(\frac{5x}{2})cos(\frac{3x}{2}) + 2sin(\frac{5x}{2})cos(\frac{x}{2}) = 0$

Вынесем общий множитель $2sin(\frac{5x}{2})$:

$2sin(\frac{5x}{2})(cos(\frac{3x}{2}) + cos(\frac{x}{2})) = 0$

Теперь применим формулу суммы косинусов $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$ ко второму множителю:

$cos(\frac{3x}{2}) + cos(\frac{x}{2}) = 2cos(\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2})cos(\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}) = 2cos(x)cos(\frac{x}{2})$

Уравнение принимает вид:

$2sin(\frac{5x}{2}) \cdot 2cos(x)cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies 4sin(\frac{5x}{2})cos(x)cos(\frac{x}{2}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим три случая:

а) $sin(\frac{5x}{2}) = 0 \implies \frac{5x}{2} = \pi k \implies x = \frac{2\pi k}{5}$, где $k \in Z$.

б) $cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

в) $cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \pi + 2\pi m$, где $m \in Z$.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}, k \in Z$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = \pi + 2\pi m, m \in Z$.