Номер 33.12, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.12. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{\pi x}{4} = x^2 - 4x + 5;$

2) $\frac{2}{\sin x + \cos x} = \sqrt{2-x^2}$.

1) $ \sin\frac{\pi x}{4} = x^2 - 4x + 5 $

Данное уравнение содержит тригонометрическую функцию в левой части и квадратичную функцию в правой. Решим его методом оценки областей значений левой и правой частей уравнения.

1. Оценим область значений левой части уравнения: $ f(x) = \sin\frac{\pi x}{4} $.
Функция синус принимает значения в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, для любого действительного $x$:
$ -1 \le \sin\frac{\pi x}{4} \le 1 $.

2. Оценим область значений правой части уравнения: $ g(x) = x^2 - 4x + 5 $.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине параболы. Выделим полный квадрат, чтобы найти вершину:
$ x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1 $.
Поскольку $ (x - 2)^2 \ge 0 $ для любого $x$, то наименьшее значение правой части равно $ 0 + 1 = 1 $. Таким образом:
$ x^2 - 4x + 5 \ge 1 $.

3. Сопоставим полученные оценки.
Левая часть уравнения не превышает 1 ($ \sin\frac{\pi x}{4} \le 1 $), а правая часть не меньше 1 ($ x^2 - 4x + 5 \ge 1 $).
Равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений: $ \begin{cases} \sin\frac{\pi x}{4} = 1 \\ x^2 - 4x + 5 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$ x^2 - 4x + 5 = 1 $
$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
$ (x - 2)^2 = 0 $
$ x = 2 $.

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $ x = 2 $ первому уравнению системы:
$ \sin\frac{\pi \cdot 2}{4} = \sin\frac{\pi}{2} = 1 $.
Уравнение выполняется. Следовательно, $ x = 2 $ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $2$.

2) $ \frac{2}{\sin x + \cos x} = \sqrt{2 - x^2} $

Для решения этого уравнения найдем область допустимых значений (ОДЗ) и воспользуемся методом оценки.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
а) Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$ 2 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} $.
б) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$ \sin x + \cos x \ne 0 $. Используя метод вспомогательного угла, преобразуем знаменатель: $ \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) $.
Тогда $ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \ne 0 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) \ne 0 \implies x + \frac{\pi}{4} \ne \pi k \implies x \ne -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Учитывая ОДЗ по $x$ ($-\sqrt{2} \approx -1.414$, $\sqrt{2} \approx 1.414$), единственным ограничением из этого условия, попадающим в интервал $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $, является $ x \ne -\frac{\pi}{4} $ (при $ k=0 $).

2. Оценим области значений левой и правой частей уравнения.
Правая часть (ПЧ): $ g(x) = \sqrt{2 - x^2} $.
Поскольку $ 0 \le x^2 \le 2 $, то $ 0 \le 2 - x^2 \le 2 $.
Следовательно, $ 0 \le \sqrt{2 - x^2} \le \sqrt{2} $. Итак, $ 0 \le \text{ПЧ} \le \sqrt{2} $.

Левая часть (ЛЧ): $ f(x) = \frac{2}{\sin x + \cos x} = \frac{2}{\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(x + \frac{\pi}{4})} $.
Так как правая часть уравнения неотрицательна ($ \sqrt{2-x^2} \ge 0 $), левая часть также должна быть неотрицательной. Это означает, что $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0 $.
Максимальное значение $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) $ равно 1. Таким образом, $ 0 < \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1 $.
Тогда для левой части получаем оценку: $ \text{ЛЧ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(x + \frac{\pi}{4})} \ge \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} $.

3. Сопоставим полученные оценки.
Мы имеем: $ \text{ЛЧ} \ge \sqrt{2} $ и $ \text{ПЧ} \le \sqrt{2} $.
Равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны $ \sqrt{2} $. Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} \frac{2}{\sin x + \cos x} = \sqrt{2} \\ \sqrt{2 - x^2} = \sqrt{2} \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$ \sqrt{2 - x^2} = \sqrt{2} $
$ 2 - x^2 = 2 $
$ x^2 = 0 $
$ x = 0 $.

Проверим, удовлетворяет ли $ x = 0 $ первому уравнению системы:
$ \frac{2}{\sin 0 + \cos 0} = \frac{2}{0 + 1} = 2 $.
Получаем $ 2 = \sqrt{2} $, что является ложным равенством.
Поскольку единственное значение $x$, при котором правая часть равна $ \sqrt{2} $, не удовлетворяет условию для левой части, система не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.