Номер 33.16, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.16. Решите систему уравнений:

1)

2)

3)

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y - x = 60^\circ, \\ \cos x + \cos y = 1,5; \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x + 60^\circ$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\cos x + \cos(x + 60^\circ) = 1,5$

Воспользуемся формулой суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 \cos \frac{x + x + 60^\circ}{2} \cos \frac{x - (x + 60^\circ)}{2} = 1,5$

$2 \cos(x + 30^\circ) \cos(-30^\circ) = 1,5$

Так как $\cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cos(x + 30^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1,5$

$\sqrt{3} \cos(x + 30^\circ) = 1,5$

$\cos(x + 30^\circ) = \frac{1,5}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда следует, что $x + 30^\circ = \pm 30^\circ + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + 30^\circ = 30^\circ + 360^\circ n$

$x = 360^\circ n$

Тогда $y = x + 60^\circ = 360^\circ n + 60^\circ$.

2) $x + 30^\circ = -30^\circ + 360^\circ n$

$x = -60^\circ + 360^\circ n$

Тогда $y = x + 60^\circ = -60^\circ + 360^\circ n + 60^\circ = 360^\circ n$.

Таким образом, система имеет две серии решений.

Ответ: $(360^\circ n, 60^\circ + 360^\circ n)$, $(-60^\circ + 360^\circ n, 360^\circ n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1; \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{\pi}{4} - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\sin^2 x + \sin^2(\frac{\pi}{4} - x) = 1$

Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} - x))}{2} = 1$

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 2x)}{2} = 1$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos(2x) + 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 2$

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:

$2 - \cos(2x) - \sin(2x) = 2$

$\cos(2x) + \sin(2x) = 0$

Разделим обе части на $\cos(2x)$ (что возможно, так как если $\cos(2x)=0$, то и $\sin(2x)=0$, а это невозможно одновременно):

$1 + \tan(2x) = 0 \Rightarrow \tan(2x) = -1$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$

Теперь найдем $y$ из уравнения $y = \frac{\pi}{4} - x$:

$y = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}) = \frac{2\pi}{8} + \frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2} = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi k}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sin x \cos y = -0,5, \\ \cos x \sin y = 0,5. \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y = -0,5 + 0,5$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x+y) = 0$

Отсюда $x+y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем второе уравнение из первого:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = -0,5 - 0,5$

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x-y) = -1$

Отсюда $x-y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Мы получили новую систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\begin{cases} x + y = \pi n, \\ x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k. \end{cases}$

Сложим уравнения этой системы:

$2x = \pi n - \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$

Вычтем второе уравнение из первого:

$2y = \pi n - (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) \Rightarrow 2y = \pi n + \frac{\pi}{2} - 2\pi k \Rightarrow y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$

Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} - \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.