Номер 33.13, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.13. Решите уравнение $4y^2 - 4y \cos x + 1 = 0$.

Данное уравнение $4y^2 - 4y\cos x + 1 = 0$ можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной $y$. Для его решения воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Перепишем левую часть уравнения, чтобы выделить полный квадрат. Выражение $4y^2 - 4y\cos x$ является первыми двумя членами квадрата разности $(2y - \cos x)^2 = 4y^2 - 4y\cos x + \cos^2 x$.
Добавим и вычтем $\cos^2 x$ в левой части уравнения:
$(4y^2 - 4y\cos x + \cos^2 x) - \cos^2 x + 1 = 0$
Теперь свернем полный квадрат и сгруппируем оставшиеся члены:
$(2y - \cos x)^2 + (1 - \cos^2 x) = 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$, мы можем переписать уравнение в виде:
$(2y - \cos x)^2 + \sin^2 x = 0$

Это уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому $(2y - \cos x)^2 \ge 0$ и $\sin^2 x \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$.
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases}(2y - \cos x)^2 = 0 \\\sin^2 x = 0\end{cases}$

Решим эту систему.
Из второго уравнения $\sin^2 x = 0$ следует, что $\sin x = 0$.
Решениями этого уравнения являются $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Из первого уравнения $(2y - \cos x)^2 = 0$ следует, что $2y - \cos x = 0$, откуда $y = \frac{\cos x}{2}$.

Теперь подставим найденные значения $x$ в выражение для $y$:
$y = \frac{\cos(\pi n)}{2}$
Значение $\cos(\pi n)$ равно $1$, если $n$ четное, и $-1$, если $n$ нечетное. Это можно записать как $\cos(\pi n) = (-1)^n$.
Следовательно, $y = \frac{(-1)^n}{2}$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются пары чисел $(x, y)$, где $x = \pi n$ и $y = \frac{(-1)^n}{2}$ для любого целого $n$.

Ответ: $(\pi n; \frac{(-1)^n}{2})$, где $n \in \mathbb{Z}$.