Номер 33.20, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.20. Решите уравнение:

1) $\sin^3 4x + \cos^3 4x = 1 - 0.5 \sin 8x;$

2) $\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}(\cos^4 2x - \sin^4 2x).$

1) $\sin^3(4x) + \cos^3(4x) = 1 - 0,5\sin(8x)$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$1 - 0,5\sin(8x) = 1 - 0,5\sin(2 \cdot 4x) = 1 - 0,5 \cdot 2\sin(4x)\cos(4x) = 1 - \sin(4x)\cos(4x)$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^3(4x) + \cos^3(4x) = (\sin(4x) + \cos(4x))(\sin^2(4x) - \sin(4x)\cos(4x) + \cos^2(4x)) = (\sin(4x) + \cos(4x))(1 - \sin(4x)\cos(4x))$.

Теперь уравнение имеет вид:

$(\sin(4x) + \cos(4x))(1 - \sin(4x)\cos(4x)) = 1 - \sin(4x)\cos(4x)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(1 - \sin(4x)\cos(4x))$ за скобки:

$(\sin(4x) + \cos(4x))(1 - \sin(4x)\cos(4x)) - (1 - \sin(4x)\cos(4x)) = 0$

$(1 - \sin(4x)\cos(4x))(\sin(4x) + \cos(4x) - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $1 - \sin(4x)\cos(4x) = 0$

$\sin(4x)\cos(4x) = 1$

Умножим на 2: $2\sin(4x)\cos(4x) = 2$, что равносильно $\sin(8x) = 2$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

б) $\sin(4x) + \cos(4x) - 1 = 0$

$\sin(4x) + \cos(4x) = 1$.

Это уравнение вида $a\sin u + b\cos u = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(4x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(4x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно переписать в виде:

$\sin(4x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(4x)\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Применяем формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Отсюда получаем две серии решений:

1. $4x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$4x = 2\pi n$

$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2. $4x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$4x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) + \sin(2x) = \sqrt{2}(\cos^4(2x) - \sin^4(2x))$

Преобразуем выражение в скобках в правой части, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^4(2x) - \sin^4(2x) = (\cos^2(2x) - \sin^2(2x))(\cos^2(2x) + \sin^2(2x))$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$(\cos^2(2x) - \sin^2(2x)) \cdot 1 = \cos(2 \cdot 2x) = \cos(4x)$.

Уравнение принимает вид:

$\cos(2x) + \sin(2x) = \sqrt{2}\cos(4x)$.

Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x)) = \sqrt{2}\cos(4x)$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то:

$\sqrt{2}(\cos(2x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}\cos(4x)$.

Используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sqrt{2}\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos(4x)$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \cos(4x)$.

Равенство $\cos\alpha = \cos\beta$ выполняется, если $\alpha = \pm\beta + 2\pi m$. Рассмотрим два случая:

а) $4x = 2x - \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) $4x = -(2x - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$4x = -2x + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.