Номер 33.27, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.27. Решите уравнение $\sqrt{3 - \mathrm{tg}^2 \frac{3\pi x}{2}} \sin \pi x - \cos \pi x = 2.$

Исходное уравнение:$$ \sqrt{3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$$ 3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \ge 0 \implies \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \le 3 $$Кроме того, тангенс должен быть определен, то есть $\cos\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \neq 0$.

Воспользуемся методом оценки. Левая часть уравнения представляет собой выражение вида $a \sin \alpha - b \cos \alpha$, где $a = \sqrt{3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)}$ и $b=1$. Максимальное значение такого выражения равно $\sqrt{a^2+b^2}$. Следовательно, левая часть уравнения не превышает:$$ \sqrt{\left(\sqrt{3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) + 1} = \sqrt{4 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)} $$Таким образом, чтобы уравнение имело решение, должно выполняться неравенство:$$ 2 \le \sqrt{4 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)} $$Возведем обе части в квадрат:$$ 4 \le 4 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) $$$$ 0 \le -\operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) $$$$ \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \le 0 $$Поскольку квадрат тангенса не может быть отрицательным, единственная возможность — это равенство нулю:$$ \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0 $$

Это означает, что решение может существовать только при выполнении этого условия. При $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0$ исходное уравнение принимает вид:$$ \sqrt{3 - 0} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 $$$$ \sqrt{3} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 $$Таким образом, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:$$ \begin{cases} \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0 \\ \sqrt{3} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы:$$ \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0 $$$$ \frac{3\pi x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$$$ x = \frac{2n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Решим второе уравнение системы:$$ \sqrt{3} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 $$Разделим обе части на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$:$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\pi x) - \frac{1}{2} \cos(\pi x) = 1 $$Используя формулу синуса разности $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$, получаем:$$ \sin(\pi x) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos(\pi x) \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 $$$$ \sin\left(\pi x - \frac{\pi}{6}\right) = 1 $$Решением этого уравнения является:$$ \pi x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$$$ \pi x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi m $$$$ \pi x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi m = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m $$$$ x = \frac{2}{3} + 2m, \quad m \in \mathbb{Z} $$

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих уравнений. Для этого приравняем полученные выражения для $x$:$$ \frac{2n}{3} = \frac{2}{3} + 2m $$$$ 2n = 2 + 6m $$$$ n = 1 + 3m $$Поскольку для любого целого числа $m$ мы получаем целое число $n$, это означает, что множество решений второго уравнения является подмножеством множества решений первого уравнения. Следовательно, решениями исходной системы (и исходного уравнения) являются все $x$ из второго множества.

Ответ: $x = \frac{2}{3} + 2m, m \in \mathbb{Z}$.