Номер 33.30, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.30. Решите уравнение:

1) $(\sin(x - y) + 1)(2\cos(2x - y) + 1) = 6;$

2) $\tan^4 x + \tan^4 y + 2\cot^2 x \cot^2 y = 3 + \sin^2(x + y).$

1) $(\sin(x - y) + 1)(2\cos(2x - y) + 1) = 6$

Данное уравнение содержит две переменные, поэтому для его решения воспользуемся методом оценки. Оценим диапазон значений каждого множителя в левой части уравнения.

Для первого множителя: Известно, что область значений функции синус: $-1 \le \sin(x - y) \le 1$. Следовательно, для выражения $\sin(x - y) + 1$ имеем: $0 \le \sin(x - y) + 1 \le 2$.

Для второго множителя: Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(2x - y) \le 1$. Умножим на 2: $-2 \le 2\cos(2x - y) \le 2$. Прибавим 1: $-1 \le 2\cos(2x - y) + 1 \le 3$.

Произведение двух множителей $(\sin(x - y) + 1)(2\cos(2x - y) + 1)$ может достигать своего максимального значения, равного $2 \cdot 3 = 6$. Поскольку в уравнении правая часть равна 6, равенство возможно только в том случае, когда оба множителя одновременно принимают свои максимальные значения.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sin(x - y) + 1 = 2 \\ 2\cos(2x - y) + 1 = 3 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} \sin(x - y) = 1 \\ \cos(2x - y) = 1 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения получаем:

$x - y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения получаем:

$2x - y = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь мы имеем систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x - y = 2\pi n \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $x$:

$(2x - y) - (x - y) = 2\pi n - (\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$

$x = 2\pi n - \frac{\pi}{2} - 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(n - k)$.

Теперь найдем $y$, выразив его из первого уравнения: $y = x - (\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. Подставим найденное значение $x$:

$y = (-\frac{\pi}{2} + 2\pi(n - k)) - (\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$

$y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n - 2\pi k - \frac{\pi}{2} - 2\pi k$

$y = -\pi + 2\pi n - 4\pi k = -\pi + 2\pi(n - 2k)$.

Таким образом, решениями уравнения являются все пары $(x, y)$, где $k$ и $n$ - произвольные целые числа.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(n - k)$, $y = -\pi + 2\pi(n - 2k)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg}^4 x + \text{tg}^4 y + 2\text{ctg}^2 x \text{ctg}^2 y = 3 + \sin^2(x+y)$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями существования тангенса и котангенса: $x \ne \frac{\pi k}{2}$ и $y \ne \frac{\pi j}{2}$ для любых $k, j \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$:

$\text{tg}^4 x + \text{tg}^4 y + \frac{2}{\text{tg}^2 x \text{tg}^2 y}$

Оценим значения левой (ЛЧ) и правой (ПЧ) частей уравнения.

Для правой части: $0 \le \sin^2(x+y) \le 1$. Следовательно, $3 \le 3 + \sin^2(x+y) \le 4$. Таким образом, ПЧ $\le 4$.

Для левой части: Пусть $a = \text{tg}^2 x > 0$ и $b = \text{tg}^2 y > 0$. Тогда ЛЧ примет вид: $a^2 + b^2 + \frac{2}{ab}$. Воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для четырех положительных чисел $a^2, b^2, \frac{1}{ab}, \frac{1}{ab}$ имеем:

$a^2 + b^2 + \frac{1}{ab} + \frac{1}{ab} \ge 4\sqrt[4]{a^2 \cdot b^2 \cdot \frac{1}{ab} \cdot \frac{1}{ab}} = 4\sqrt[4]{1} = 4$.

Таким образом, ЛЧ $\ge 4$.

Исходное уравнение ЛЧ = ПЧ может иметь решение только в том случае, когда обе части равны 4. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \text{tg}^4 x + \text{tg}^4 y + 2\text{ctg}^2 x \text{ctg}^2 y = 4 \\ 3 + \sin^2(x+y) = 4 \end{cases}$

Равенство в неравенстве Коши для ЛЧ достигается тогда и только тогда, когда все слагаемые равны: $a^2 = b^2 = \frac{1}{ab}$. Так как $a, b > 0$, то $a=b$. Подставляя это в равенство, получаем $a^2 = \frac{1}{a^2}$, откуда $a^4=1$. Так как $a>0$, то $a=1$. Следовательно, $a=b=1$, что означает $\text{tg}^2 x = 1$ и $\text{tg}^2 y = 1$.

Из второго уравнения системы: $\sin^2(x+y) = 1$.

Теперь решим полученную систему тригонометрических уравнений:

$\begin{cases} \text{tg}^2 x = 1 \\ \text{tg}^2 y = 1 \\ \sin^2(x+y) = 1 \end{cases}$

Из $\text{tg}^2 x = 1$ следует, что $\text{tg} x = \pm 1$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Из $\text{tg}^2 y = 1$ следует, что $\text{tg} y = \pm 1$, то есть $y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}j$, где $j \in \mathbb{Z}$. Из $\sin^2(x+y) = 1$ следует, что $\sin(x+y) = \pm 1$, то есть $x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим выражения для $x$ и $y$ в третье условие:

$(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k) + (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}j) = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}(k+j) = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$\frac{1}{2}(k+j) = n \implies k+j = 2n$.

Это означает, что сумма целых чисел $k$ и $j$ должна быть четным числом. Это возможно, если $k$ и $j$ имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Рассмотрим эти случаи: 1. $k$ и $j$ - четные. $k=2m, j=2p$. $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, $y = \frac{\pi}{4} + \pi p$. В этом случае $\text{tg}x = 1$ и $\text{tg}y = 1$. 2. $k$ и $j$ - нечетные. $k=2m+1, j=2p+1$. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(2m+1) = \frac{3\pi}{4} + \pi m$. $y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(2p+1) = \frac{3\pi}{4} + \pi p$. В этом случае $\text{tg}x = -1$ и $\text{tg}y = -1$.

Объединяя оба случая, получаем две серии решений.

Ответ: $(x,y) = (\frac{\pi}{4} + \pi m, \frac{\pi}{4} + \pi p)$ и $(x,y) = (\frac{3\pi}{4} + \pi m, \frac{3\pi}{4} + \pi p)$, где $m, p \in \mathbb{Z}$.