Номер 33.34, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.34. При каких значениях параметра $a$ уравнение $2x^2 - a \operatorname{tg}(\cos x) + a^2 = 0$ имеет единственный корень?

Рассмотрим данное уравнение $2x^2 - a \tan(\cos x) + a^2 = 0$.

Пусть $f(x) = 2x^2 - a \tan(\cos x) + a^2$. Найдем область определения этой функции. Выражение $\cos x$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$, и его область значений — отрезок $[-1, 1]$. Функция $\tan(y)$ определена, если ее аргумент $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $|\frac{\pi}{2}| \approx 1.57 > 1$, значения $\cos x$ никогда не совпадают с точками разрыва тангенса. Следовательно, область определения функции $f(x)$ — все действительные числа.

Исследуем функцию на четность.$f(-x) = 2(-x)^2 - a \tan(\cos(-x)) + a^2 = 2x^2 - a \tan(\cos x) + a^2 = f(x)$. Функция $f(x)$ является четной.

Если у четной функции есть корень $x_0 \neq 0$, то число $-x_0$ также является ее корнем, так как $f(-x_0) = f(x_0) = 0$. Таким образом, чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы этим корнем был $x=0$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти значения параметра $a$, при которых это возможно:$2 \cdot 0^2 - a \tan(\cos 0) + a^2 = 0$$- a \tan(1) + a^2 = 0$$a(a - \tan(1)) = 0$Это дает два возможных значения параметра: $a=0$ и $a=\tan(1)$.

Проверим, является ли это условие достаточным. Для этого рассмотрим каждый случай отдельно.

Сначала рассмотрим случай $a=0$. Уравнение принимает вид:$2x^2 - 0 \cdot \tan(\cos x) + 0^2 = 0$$2x^2 = 0$Это уравнение имеет единственный корень $x=0$. Значит, значение $a=0$ удовлетворяет условию задачи.

Теперь рассмотрим случай $a=\tan(1)$. Уравнение принимает вид:$2x^2 - \tan(1) \tan(\cos x) + \tan^2(1) = 0$Перенесем слагаемые, чтобы разделить переменные:$2x^2 + \tan^2(1) = \tan(1) \tan(\cos x)$

Оценим левую и правую части этого равенства. Левая часть $L(x) = 2x^2 + \tan^2(1)$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине при $x=0$ и равно $L(0) = \tan^2(1)$. Для всех $x \neq 0$, $L(x) > \tan^2(1)$.

Правая часть $R(x) = \tan(1) \tan(\cos x)$. Поскольку $x \in \mathbb{R}$, то $\cos x \in [-1, 1]$. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, функция $\tan(y)$ на отрезке $[-1, 1]$ является возрастающей. Следовательно, наибольшее значение функции $\tan(\cos x)$ достигается при наибольшем значении $\cos x$, то есть при $\cos x = 1$. Это происходит при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение правой части равно $R(2\pi k) = \tan(1) \tan(1) = \tan^2(1)$. Для всех $x$, не равных $2\pi k$, $\cos x < 1$, и, следовательно, $R(x) < \tan^2(1)$.

Таким образом, равенство $L(x) = R(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны. Мы имеем $L(x) \ge \tan^2(1)$ и $R(x) \le \tan^2(1)$. Равенство достигается только в случае, когда $L(x) = R(x) = \tan^2(1)$. Это требует одновременного выполнения двух условий:1) $L(x) = \tan^2(1) \implies 2x^2 + \tan^2(1) = \tan^2(1) \implies 2x^2 = 0 \implies x=0$.2) $R(x) = \tan^2(1) \implies \tan(1) \tan(\cos x) = \tan^2(1) \implies \tan(\cos x) = \tan(1) \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Единственное значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям, — это $x=0$. Следовательно, при $a=\tan(1)$ уравнение также имеет единственный корень.

Оба найденных значения параметра $a$ удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $a=0; a=\tan(1)$.