Страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.31. При каких значениях параметра $a$ уравнение $6a \cos \frac{\pi x}{2} - a^2(1 + 6|x|) + 7 = 0$ имеет единственный корень?

Запишем данное уравнение в виде $f(x) = 0$, где $f(x) = 6a \cos\frac{\pi x}{2} - a^2(1 + 6|x|) + 7$.

Исследуем функцию $f(x)$ на четность. Область определения функции — все действительные числа. $f(-x) = 6a \cos\frac{\pi (-x)}{2} - a^2(1 + 6|-x|) + 7$. Так как функция $\cos(z)$ является четной ($\cos(-z) = \cos(z)$) и модуль $|-x| = |x|$, то $f(-x) = 6a \cos\frac{\pi x}{2} - a^2(1 + 6|x|) + 7 = f(x)$. Следовательно, функция $f(x)$ является четной.

Если четная функция имеет корень $x_0 \neq 0$, то она обязательно имеет и второй корень $-x_0$. Поэтому для того, чтобы уравнение $f(x)=0$ имело единственный корень, необходимо, чтобы этим корнем был $x=0$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти значения параметра $a$, при которых это возможно:
$6a \cos(\frac{\pi \cdot 0}{2}) - a^2(1 + 6|0|) + 7 = 0$
$6a \cos(0) - a^2(1) + 7 = 0$
$6a - a^2 + 7 = 0$
$a^2 - 6a - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Используя теорему Виета, находим корни: $a_1 = 7$ и $a_2 = -1$.

Теперь необходимо выполнить проверку, так как условие $x=0$ является корнем — необходимое, но не достаточное. Нужно убедиться, что при найденных значениях $a$ нет других корней.

Рассмотрим случай $a = 7$.
Подставим $a=7$ в уравнение:
$6(7) \cos\frac{\pi x}{2} - 7^2(1 + 6|x|) + 7 = 0$
$42 \cos\frac{\pi x}{2} - 49(1 + 6|x|) + 7 = 0$
Разделив на 7, получаем:
$6 \cos\frac{\pi x}{2} - 7(1 + 6|x|) + 1 = 0$
$6 \cos\frac{\pi x}{2} - 7 - 42|x| + 1 = 0$
$6 \cos\frac{\pi x}{2} = 6 + 42|x|$
$\cos\frac{\pi x}{2} = 1 + 7|x|$
Оценим левую и правую части. Левая часть: $\cos\frac{\pi x}{2} \le 1$. Правая часть: так как $|x| \ge 0$, то $1 + 7|x| \ge 1$. Равенство возможно только тогда, когда обе части равны 1. Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} \cos\frac{\pi x}{2} = 1 \\ 1 + 7|x| = 1 \end{cases}$
Из второго уравнения следует, что $7|x|=0$, то есть $x=0$. Подстановка этого значения в первое уравнение дает $\cos(0) = 1$, что является верным равенством. Таким образом, при $a=7$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Рассмотрим случай $a = -1$.
Подставим $a=-1$ в уравнение:
$6(-1) \cos\frac{\pi x}{2} - (-1)^2(1 + 6|x|) + 7 = 0$
$-6 \cos\frac{\pi x}{2} - 1 - 6|x| + 7 = 0$
$-6 \cos\frac{\pi x}{2} = 6|x| - 6$
$\cos\frac{\pi x}{2} = 1 - |x|$
Кроме корня $x=0$, который мы уже знаем, проверим наличие других корней. Пусть $x=2$.
Левая часть: $\cos(\frac{2\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$.
Правая часть: $1 - |2| = 1-2 = -1$.
Поскольку левая и правая части равны, $x=2$ является корнем. В силу четности функции, $x=-2$ также является корнем. Следовательно, при $a=-1$ уравнение имеет более одного корня, поэтому это значение $a$ не подходит.

Единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a=7$.

Ответ: $a=7$.

33.32. При каких значениях параметра $a$ уравнение $a^2 \cos \pi x - a(1 + 8x^2) = 6$ имеет единственный корень?

Дано уравнение: $a^2 \cos \pi x - a(1 + 8x^2) = 6$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы представить уравнение в виде $f(x) = 0$:

$f(x) = a^2 \cos \pi x - a(1 + 8x^2) - 6$

Исследуем функцию $f(x)$ на четность. Область определения функции — все действительные числа. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = a^2 \cos(\pi(-x)) - a(1 + 8(-x)^2) - 6 = a^2 \cos(\pi x) - a(1 + 8x^2) - 6 = f(x)$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция $f(x)$ является четной. Если четная функция имеет корень $x_0 \ne 0$, то число $-x_0$ также является ее корнем, так как $f(-x_0) = f(x_0) = 0$. В этом случае уравнение будет иметь как минимум два корня. Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы этот корень был равен нулю, так как только для $x=0$ выполняется условие $x = -x$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти значения параметра $a$, при которых $x=0$ является корнем:

$a^2 \cos(\pi \cdot 0) - a(1 + 8 \cdot 0^2) = 6$

$a^2 \cdot 1 - a \cdot 1 = 6$

$a^2 - a - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Решим его, найдя корни:

$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

Получаем два возможных значения для $a$:

$a_1 = \frac{1+5}{2} = 3$

$a_2 = \frac{1-5}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить, будет ли при каждом из этих значений $a$ корень $x=0$ единственным.

Случай 1: a = 3

Подставим $a=3$ в исходное уравнение:

$3^2 \cos(\pi x) - 3(1 + 8x^2) = 6$

$9 \cos(\pi x) - 3 - 24x^2 = 6$

$9 \cos(\pi x) = 9 + 24x^2$

Разделим обе части на 9:

$\cos(\pi x) = 1 + \frac{8}{3}x^2$

Проанализируем полученное уравнение. Значения функции косинус лежат в пределах от -1 до 1, поэтому левая часть уравнения $\cos(\pi x) \le 1$.

Правая часть уравнения $1 + \frac{8}{3}x^2 \ge 1$, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Равенство $\cos(\pi x) = 1 + \frac{8}{3}x^2$ возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \cos(\pi x) = 1 \\ 1 + \frac{8}{3}x^2 = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения системы следует, что $\frac{8}{3}x^2 = 0$, откуда $x=0$.

Подстановка $x=0$ в первое уравнение дает $\cos(0)=1$, что является верным равенством. Следовательно, система имеет единственное решение $x=0$.

Таким образом, при $a=3$ исходное уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Случай 2: a = -2

Подставим $a=-2$ в исходное уравнение:

$(-2)^2 \cos(\pi x) - (-2)(1 + 8x^2) = 6$

$4 \cos(\pi x) + 2(1 + 8x^2) = 6$

$4 \cos(\pi x) + 2 + 16x^2 = 6$

$4 \cos(\pi x) = 4 - 16x^2$

Разделим обе части на 4:

$\cos(\pi x) = 1 - 4x^2$

Мы уже знаем, что $x=0$ является корнем этого уравнения. Проверим наличие других корней. Например, подставим $x = 1/2$:

Левая часть: $\cos(\pi \cdot \frac{1}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Правая часть: $1 - 4(\frac{1}{2})^2 = 1 - 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$.

Поскольку $0=0$, $x=1/2$ также является корнем уравнения.

Так как функция четная, то $x=-1/2$ также является корнем, что подтверждается проверкой: $\cos(-\pi/2) = 0$ и $1 - 4(-1/2)^2 = 0$.

Следовательно, при $a=-2$ уравнение имеет как минимум три корня: $x=0, x=1/2, x=-1/2$. Значит, корень не является единственным.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором уравнение имеет единственный корень, это $a=3$.

Ответ: $a=3$.

33.33. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 - 2a \sin(\cos x) + 2 = 0$ имеет единственный корень?

Рассмотрим данное уравнение: $x^2 - 2a\sin(\cos x) + 2 = 0$.

Введем функцию $f(x) = x^2 - 2a\sin(\cos x) + 2$. Нам нужно найти значения параметра $a$, при которых уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно один корень.

Исследуем функцию $f(x)$ на четность. Область определения функции - все действительные числа. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 - 2a\sin(\cos(-x)) + 2$.

Так как функция $y=x^2$ является четной ($(-x)^2 = x^2$) и функция $y=\cos x$ является четной ($\cos(-x) = \cos x$), то:

$f(-x) = x^2 - 2a\sin(\cos x) + 2 = f(x)$.

Следовательно, функция $f(x)$ является четной. Если четная функция имеет корень $x_0 \neq 0$, то она обязательно имеет и корень $-x_0$, так как $f(-x_0) = f(x_0) = 0$. В этом случае у уравнения будет как минимум два корня. Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы этим корнем был $x=0$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:

$0^2 - 2a\sin(\cos 0) + 2 = 0$

$-2a\sin(1) + 2 = 0$

$2a\sin(1) = 2$

$a = \frac{1}{\sin(1)}$

Мы нашли необходимое условие для существования единственного корня. Теперь нужно проверить, является ли это условие достаточным. То есть, проверим, действительно ли при $a = \frac{1}{\sin(1)}$ уравнение имеет только один корень.

Подставим найденное значение $a$ в уравнение:

$x^2 - 2\frac{1}{\sin(1)}\sin(\cos x) + 2 = 0$

Перенесем слагаемое с синусом в правую часть:

$x^2 + 2 = \frac{2\sin(\cos x)}{\sin(1)}$

Рассмотрим левую и правую части этого равенства как две функции от $x$.

Левая часть: $g(x) = x^2 + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$. Наименьшее значение этой функции равно $2$ и достигается только при $x=0$. То есть, $g(x) \ge 2$ для всех $x$.

Правая часть: $h(x) = \frac{2\sin(\cos x)}{\sin(1)}$. Оценим множество значений этой функции. Известно, что $-1 \le \cos x \le 1$. Аргумент $t = \cos x$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Так как $1$ радиан это примерно $57.3^\circ$, то $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$. Отрезок $[-1, 1]$ полностью содержится в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором функция $y=\sin t$ является строго возрастающей. Следовательно, наибольшее значение $\sin(\cos x)$ достигается при наибольшем значении $\cos x$, то есть при $\cos x = 1$. Это значение равно $\sin(1)$. Таким образом, $\sin(\cos x) \le \sin(1)$. Отсюда следует, что $h(x) = \frac{2\sin(\cos x)}{\sin(1)} \le \frac{2\sin(1)}{\sin(1)} = 2$. Наибольшее значение функции $h(x)$ равно $2$ и достигается при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к уравнению $g(x) = h(x)$. Мы получили, что $g(x) \ge 2$, а $h(x) \le 2$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны $2$:

$\begin{cases} g(x) = x^2 + 2 = 2 \\ h(x) = \frac{2\sin(\cos x)}{\sin(1)} = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $x^2 = 0$, откуда $x=0$.

Из второго уравнения системы получаем $\sin(\cos x) = \sin(1)$, что в силу монотонности синуса на отрезке $[-1, 1]$ равносильно $\cos x = 1$. Решением этого уравнения является $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы система имела решение, необходимо, чтобы $x$ удовлетворял обоим условиям одновременно: $x=0$ и $x = 2\pi k$. Это возможно только при $k=0$, что дает единственный корень $x=0$.

Таким образом, при $a = \frac{1}{\sin(1)}$ исходное уравнение действительно имеет единственный корень.

Ответ: $a = \frac{1}{\sin(1)}$.

33.34. При каких значениях параметра $a$ уравнение $2x^2 - a \operatorname{tg}(\cos x) + a^2 = 0$ имеет единственный корень?

Рассмотрим данное уравнение $2x^2 - a \tan(\cos x) + a^2 = 0$.

Пусть $f(x) = 2x^2 - a \tan(\cos x) + a^2$. Найдем область определения этой функции. Выражение $\cos x$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$, и его область значений — отрезок $[-1, 1]$. Функция $\tan(y)$ определена, если ее аргумент $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $|\frac{\pi}{2}| \approx 1.57 > 1$, значения $\cos x$ никогда не совпадают с точками разрыва тангенса. Следовательно, область определения функции $f(x)$ — все действительные числа.

Исследуем функцию на четность.$f(-x) = 2(-x)^2 - a \tan(\cos(-x)) + a^2 = 2x^2 - a \tan(\cos x) + a^2 = f(x)$. Функция $f(x)$ является четной.

Если у четной функции есть корень $x_0 \neq 0$, то число $-x_0$ также является ее корнем, так как $f(-x_0) = f(x_0) = 0$. Таким образом, чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы этим корнем был $x=0$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти значения параметра $a$, при которых это возможно:$2 \cdot 0^2 - a \tan(\cos 0) + a^2 = 0$$- a \tan(1) + a^2 = 0$$a(a - \tan(1)) = 0$Это дает два возможных значения параметра: $a=0$ и $a=\tan(1)$.

Проверим, является ли это условие достаточным. Для этого рассмотрим каждый случай отдельно.

Сначала рассмотрим случай $a=0$. Уравнение принимает вид:$2x^2 - 0 \cdot \tan(\cos x) + 0^2 = 0$$2x^2 = 0$Это уравнение имеет единственный корень $x=0$. Значит, значение $a=0$ удовлетворяет условию задачи.

Теперь рассмотрим случай $a=\tan(1)$. Уравнение принимает вид:$2x^2 - \tan(1) \tan(\cos x) + \tan^2(1) = 0$Перенесем слагаемые, чтобы разделить переменные:$2x^2 + \tan^2(1) = \tan(1) \tan(\cos x)$

Оценим левую и правую части этого равенства. Левая часть $L(x) = 2x^2 + \tan^2(1)$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине при $x=0$ и равно $L(0) = \tan^2(1)$. Для всех $x \neq 0$, $L(x) > \tan^2(1)$.

Правая часть $R(x) = \tan(1) \tan(\cos x)$. Поскольку $x \in \mathbb{R}$, то $\cos x \in [-1, 1]$. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$, функция $\tan(y)$ на отрезке $[-1, 1]$ является возрастающей. Следовательно, наибольшее значение функции $\tan(\cos x)$ достигается при наибольшем значении $\cos x$, то есть при $\cos x = 1$. Это происходит при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение правой части равно $R(2\pi k) = \tan(1) \tan(1) = \tan^2(1)$. Для всех $x$, не равных $2\pi k$, $\cos x < 1$, и, следовательно, $R(x) < \tan^2(1)$.

Таким образом, равенство $L(x) = R(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны. Мы имеем $L(x) \ge \tan^2(1)$ и $R(x) \le \tan^2(1)$. Равенство достигается только в случае, когда $L(x) = R(x) = \tan^2(1)$. Это требует одновременного выполнения двух условий:1) $L(x) = \tan^2(1) \implies 2x^2 + \tan^2(1) = \tan^2(1) \implies 2x^2 = 0 \implies x=0$.2) $R(x) = \tan^2(1) \implies \tan(1) \tan(\cos x) = \tan^2(1) \implies \tan(\cos x) = \tan(1) \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Единственное значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям, — это $x=0$. Следовательно, при $a=\tan(1)$ уравнение также имеет единственный корень.

Оба найденных значения параметра $a$ удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $a=0; a=\tan(1)$.

33.35. Найдите множество пар чисел $(a; b)$, для каждой из которых равенство $a(\cos x-1) + b^2 = \cos(ax + b^2) - 1$ выполняется для всех $x$.

Данное равенство $a(\cos x - 1) + b^2 = \cos(ax + b^2) - 1$ должно выполняться для всех действительных значений $x$. Это означает, что оно является тождеством.

Поскольку равенство верно для всех $x$, оно должно быть верно и для конкретных значений $x$. Подставим в уравнение $x=0$:

$a(\cos 0 - 1) + b^2 = \cos(a \cdot 0 + b^2) - 1$

$a(1 - 1) + b^2 = \cos(b^2) - 1$

$b^2 = \cos(b^2) - 1$

Перепишем это уравнение в виде: $b^2 + 1 = \cos(b^2)$.

Рассмотрим это уравнение. Обозначим $y = b^2$. Так как $b$ - действительное число, то $y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y + 1 = \cos(y)$.

Мы знаем, что область значений функции косинуса - это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(y) \le 1$.

Следовательно, для левой части уравнения должно выполняться неравенство $y + 1 \le 1$, из которого следует, что $y \le 0$.

Таким образом, мы имеем два условия для $y$: $y \ge 0$ и $y \le 0$. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, это $y=0$.

Проверим, является ли $y=0$ решением уравнения $y + 1 = \cos(y)$:

$0 + 1 = \cos(0)$

$1 = 1$

Равенство верное. Итак, единственное возможное значение для $y$ - это $0$. Так как $y=b^2$, получаем $b^2=0$, откуда $b=0$.

Теперь, когда мы нашли необходимое условие $b=0$, подставим его в исходное тождество:

$a(\cos x - 1) + 0^2 = \cos(ax + 0^2) - 1$

$a(\cos x - 1) = \cos(ax) - 1$

Это новое равенство также должно выполняться для всех $x$.

Рассмотрим поведение этого равенства при значениях $x$, близких к нулю. Для этого воспользуемся разложением косинуса в ряд Тейлора в окрестности нуля: $\cos u = 1 - \frac{u^2}{2!} + o(u^3)$.

Подставим разложения для $\cos x$ и $\cos(ax)$ в уравнение:

$a\left(\left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)\right) - 1\right) = \left(1 - \frac{(ax)^2}{2} + o(x^3)\right) - 1$

$a\left(-\frac{x^2}{2} + o(x^3)\right) = -\frac{a^2x^2}{2} + o(x^3)$

$-\frac{a x^2}{2} + o(x^3) = -\frac{a^2 x^2}{2} + o(x^3)$

Чтобы это равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой частях должны совпадать. Приравнивая коэффициенты при $x^2$, получаем:

$-\frac{a}{2} = -\frac{a^2}{2}$

$a = a^2$

$a^2 - a = 0$

$a(a-1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $a$: $a=0$ или $a=1$.

Итак, мы получили два возможных набора параметров: $(a, b) = (0, 0)$ и $(a, b) = (1, 0)$. Проверим, являются ли они решениями, подставив их в исходное уравнение.

Для пары $(a,b)=(0,0)$ получаем: $0(\cos x - 1) + 0^2 = \cos(0 \cdot x + 0^2) - 1$, что упрощается до $0 = \cos(0) - 1$, или $0=0$. Это верное тождество, значит, пара $(0,0)$ является решением.

Для пары $(a,b)=(1,0)$ получаем: $1(\cos x - 1) + 0^2 = \cos(1 \cdot x + 0^2) - 1$, что упрощается до $\cos x - 1 = \cos x - 1$. Это также верное тождество, значит, пара $(1,0)$ является решением.

Других решений нет, так как наши рассуждения основывались на необходимых условиях.

Ответ: $\{(0,0), (1,0)\}$.