Номер 33.31, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.31. При каких значениях параметра $a$ уравнение $6a \cos \frac{\pi x}{2} - a^2(1 + 6|x|) + 7 = 0$ имеет единственный корень?

Запишем данное уравнение в виде $f(x) = 0$, где $f(x) = 6a \cos\frac{\pi x}{2} - a^2(1 + 6|x|) + 7$.

Исследуем функцию $f(x)$ на четность. Область определения функции — все действительные числа. $f(-x) = 6a \cos\frac{\pi (-x)}{2} - a^2(1 + 6|-x|) + 7$. Так как функция $\cos(z)$ является четной ($\cos(-z) = \cos(z)$) и модуль $|-x| = |x|$, то $f(-x) = 6a \cos\frac{\pi x}{2} - a^2(1 + 6|x|) + 7 = f(x)$. Следовательно, функция $f(x)$ является четной.

Если четная функция имеет корень $x_0 \neq 0$, то она обязательно имеет и второй корень $-x_0$. Поэтому для того, чтобы уравнение $f(x)=0$ имело единственный корень, необходимо, чтобы этим корнем был $x=0$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти значения параметра $a$, при которых это возможно:
$6a \cos(\frac{\pi \cdot 0}{2}) - a^2(1 + 6|0|) + 7 = 0$
$6a \cos(0) - a^2(1) + 7 = 0$
$6a - a^2 + 7 = 0$
$a^2 - 6a - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Используя теорему Виета, находим корни: $a_1 = 7$ и $a_2 = -1$.

Теперь необходимо выполнить проверку, так как условие $x=0$ является корнем — необходимое, но не достаточное. Нужно убедиться, что при найденных значениях $a$ нет других корней.

Рассмотрим случай $a = 7$.
Подставим $a=7$ в уравнение:
$6(7) \cos\frac{\pi x}{2} - 7^2(1 + 6|x|) + 7 = 0$
$42 \cos\frac{\pi x}{2} - 49(1 + 6|x|) + 7 = 0$
Разделив на 7, получаем:
$6 \cos\frac{\pi x}{2} - 7(1 + 6|x|) + 1 = 0$
$6 \cos\frac{\pi x}{2} - 7 - 42|x| + 1 = 0$
$6 \cos\frac{\pi x}{2} = 6 + 42|x|$
$\cos\frac{\pi x}{2} = 1 + 7|x|$
Оценим левую и правую части. Левая часть: $\cos\frac{\pi x}{2} \le 1$. Правая часть: так как $|x| \ge 0$, то $1 + 7|x| \ge 1$. Равенство возможно только тогда, когда обе части равны 1. Это приводит к системе уравнений:
$\begin{cases} \cos\frac{\pi x}{2} = 1 \\ 1 + 7|x| = 1 \end{cases}$
Из второго уравнения следует, что $7|x|=0$, то есть $x=0$. Подстановка этого значения в первое уравнение дает $\cos(0) = 1$, что является верным равенством. Таким образом, при $a=7$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Рассмотрим случай $a = -1$.
Подставим $a=-1$ в уравнение:
$6(-1) \cos\frac{\pi x}{2} - (-1)^2(1 + 6|x|) + 7 = 0$
$-6 \cos\frac{\pi x}{2} - 1 - 6|x| + 7 = 0$
$-6 \cos\frac{\pi x}{2} = 6|x| - 6$
$\cos\frac{\pi x}{2} = 1 - |x|$
Кроме корня $x=0$, который мы уже знаем, проверим наличие других корней. Пусть $x=2$.
Левая часть: $\cos(\frac{2\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1$.
Правая часть: $1 - |2| = 1-2 = -1$.
Поскольку левая и правая части равны, $x=2$ является корнем. В силу четности функции, $x=-2$ также является корнем. Следовательно, при $a=-1$ уравнение имеет более одного корня, поэтому это значение $a$ не подходит.

Единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, это $a=7$.

Ответ: $a=7$.