Номер 34.2, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.2. Решите уравнение:

1) $\frac{2\sin^2 x + 3\sin x}{1 - \cos x} = 0;$

2) $\frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 - \cos x;$

3) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x.$

1) Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$1 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 1$
Это означает, что $x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь приравняем числитель к нулю:
$2\sin^2 x + 3\sin x = 0$
Вынесем $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2\sin x + 3) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\sin x = 0$
2) $2\sin x + 3 = 0$

Решим каждое уравнение:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x = -3 \implies \sin x = -1.5$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные решения $x = \pi n$ условию ОДЗ ($x \neq 2\pi k$).
Серия $x = \pi n$ включает в себя значения $..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$
Условие $x \neq 2\pi k$ исключает значения $..., -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...$
Следовательно, из серии $x = \pi n$ мы должны исключить случаи, когда $n$ является четным числом ($n = 2k$). Остаются только те решения, где $n$ — нечетное число.
Пусть $n = 2k + 1$, тогда $x = \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 - \cos x$.
Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
$1 + \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq -1$
Это означает, что $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На ОДЗ умножим обе части уравнения на $(1 + \cos x)$:
$\sin x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$\sin x = 1 - \cos^2 x$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, заменим $1 - \cos^2 x$ на $\sin^2 x$:
$\sin x = \sin^2 x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin^2 x - \sin x = 0$
Вынесем $\sin x$ за скобки:
$\sin x (\sin x - 1) = 0$
Получаем совокупность двух уравнений:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим полученные решения на соответствие ОДЗ ($x \neq \pi + 2\pi k$).
Для серии $x = \pi n$:
- если $n$ — четное, т.е. $n = 2k$, то $x = 2\pi k$. В этих точках $\cos(2\pi k) = 1 \neq -1$, поэтому эти решения подходят.
- если $n$ — нечетное, т.е. $n = 2k+1$, то $x = \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k$. В этих точках $\cos(\pi + 2\pi k) = -1$, что не удовлетворяет ОДЗ. Эти решения нужно исключить.
Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$:
В этих точках $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0 \neq -1$, поэтому все решения этой серии подходят.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x = 2\pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$.
Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x$.
Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
$1 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 1$
Это означает, что $x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На ОДЗ преобразуем левую часть, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos x} = 2\sin x$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos x} - 2\sin x = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:
$2\sin x \left( \frac{\cos x}{1 - \cos x} - 1 \right) = 0$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$2\sin x \left( \frac{\cos x - (1 - \cos x)}{1 - \cos x} \right) = 0$
$2\sin x \left( \frac{2\cos x - 1}{1 - \cos x} \right) = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. Числитель представляет собой произведение, которое равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $2\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ ($x \neq 2\pi k$).
Для серии $x = \pi n$:
- если $n$ — четное, т.е. $n = 2k$, то $x = 2\pi k$. В этих точках $\cos(2\pi k) = 1$, что не удовлетворяет ОДЗ. Эти решения исключаем.
- если $n$ — нечетное, т.е. $n = 2k+1$, то $x = \pi + 2\pi k$. В этих точках $\cos(\pi + 2\pi k) = -1 \neq 1$. Эти решения подходят.
Для серии $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m$:
В этих точках $\cos(\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m) = \frac{1}{2} \neq 1$, поэтому все решения этой серии подходят.

Объединяя подходящие решения, получаем ответ.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.