Номер 34.9, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.9. Решите уравнение:

1) $\cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{16}$;

2) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = -0.5$.

1) Дано уравнение $\cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{16}$.

Сначала проверим, не является ли $\sin x = 0$ решением. Если $\sin x = 0$, то $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\cos x = (-1)^k$, а $\cos(2n x) = \cos(2nk\pi) = 1$ для $n=1, 2, 4$. Левая часть уравнения становится равной $(-1)^k \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = (-1)^k$. Уравнение $(-1)^k = \frac{1}{16}$ не имеет решений в целых числах $k$. Следовательно, $\sin x \neq 0$, и мы можем умножить обе части уравнения на $16\sin x$, не опасаясь потери или приобретения корней.

$16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$

Применим последовательно формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$8 \cdot (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 8 \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$

$4 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x \cos 8x = 4 \sin 4x \cos 4x \cos 8x = \sin x$

$2 \cdot (2 \sin 4x \cos 4x) \cos 8x = 2 \sin 8x \cos 8x = \sin x$

В результате получаем уравнение:

$\sin 16x = \sin x$

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$\sin 16x - \sin x = 0$

$2 \sin\frac{16x-x}{2} \cos\frac{16x+x}{2} = 0$

$2 \sin\frac{15x}{2} \cos\frac{17x}{2} = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin\frac{15x}{2} = 0 \implies \frac{15x}{2} = \pi n \implies x = \frac{2\pi n}{15}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos\frac{17x}{2} = 0 \implies \frac{17x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi(1+2k)}{17}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо исключить из этих серий решений те, для которых $\sin x = 0$, то есть $x = m\pi$ для $m \in \mathbb{Z}$.

Для первой серии: $\frac{2\pi n}{15} = m\pi \implies 2n = 15m$. Так как числа 2 и 15 взаимно просты, $n$ должно быть кратно 15. Значит, $n \neq 15p$ для любого $p \in \mathbb{Z}$.

Для второй серии: $\frac{\pi(1+2k)}{17} = m\pi \implies 1+2k = 17m$. Это диофантово уравнение. $17m - 2k = 1$. Так как $17m$ должно быть нечетным, $m$ должно быть нечетным, $m = 2p+1$ для $p \in \mathbb{Z}$. Тогда $1+2k = 17(2p+1) = 34p+17$, откуда $2k = 34p+16$, и $k = 17p+8$. Значит, $k$ не может быть вида $17p+8$.

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{15}$, где $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 15m$ для $m \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi(2k+1)}{17}$, где $k \in \mathbb{Z}$, $k \neq 17p+8$ для $p \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = -0,5$.

Для решения этого типа уравнений (сумма косинусов с аргументами, образующими арифметическую прогрессию) удобно умножить обе части на $2\sin\frac{d}{2}$, где $d$ — разность прогрессии. В нашем случае $d=x$.

Умножим обе части уравнения на $2\sin\frac{x}{2}$. Этот метод требует, чтобы $\sin\frac{x}{2} \neq 0$, то есть $x \neq 2m\pi$ для $m \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли значения $x=2m\pi$ решениями исходного уравнения. При $x=2m\pi$ все косинусы в левой части равны 1, и их сумма равна $1+1+1+1=4$. Так как $4 \neq -0,5$, то $x \neq 2m\pi$, и умножение на $2\sin\frac{x}{2}$ является корректным преобразованием.

$2\sin\frac{x}{2}(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x) = -0,5 \cdot 2\sin\frac{x}{2}$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу произведения синуса на косинус $2\sin A \cos B = \sin(B+A) - \sin(B-A)$:

$(2\sin\frac{x}{2}\cos x) + (2\sin\frac{x}{2}\cos 2x) + (2\sin\frac{x}{2}\cos 3x) + (2\sin\frac{x}{2}\cos 4x) = -\sin\frac{x}{2}$

$(\sin\frac{3x}{2} - \sin\frac{x}{2}) + (\sin\frac{5x}{2} - \sin\frac{3x}{2}) + (\sin\frac{7x}{2} - \sin\frac{5x}{2}) + (\sin\frac{9x}{2} - \sin\frac{7x}{2}) = -\sin\frac{x}{2}$

Слагаемые в левой части попарно уничтожаются (телескопическая сумма), и уравнение упрощается:

$\sin\frac{9x}{2} - \sin\frac{x}{2} = -\sin\frac{x}{2}$

$\sin\frac{9x}{2} = 0$

Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение:

$\frac{9x}{2} = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{2k\pi}{9}$

Теперь вспомним наше ограничение $x \neq 2m\pi$. Найдем, при каких $k$ полученные решения совпадают с исключенными значениями:

$\frac{2k\pi}{9} = 2m\pi \implies \frac{k}{9} = m$

Это означает, что $k$ должно быть кратно 9. Такие значения $k$ необходимо исключить.

Ответ: $x = \frac{2k\pi}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k$ не кратно 9.