Номер 34.10, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.10. Решите уравнение:

1) $ \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{8} \cos 15x; $

2) $ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = -0.5. $

Дано уравнение: $ \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{8}\cos 15x $.

Сначала проверим, могут ли быть решениями уравнения значения $ x $, для которых $ \sin x = 0 $, то есть $ x = k\pi, k \in \mathbb{Z} $. Подставим $ x = k\pi $ в исходное уравнение. Левая часть примет вид: $ \cos(k\pi) \cos(2k\pi) \cos(4k\pi) \cos(8k\pi) = (-1)^k \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = (-1)^k $. Правая часть: $ \frac{1}{8}\cos(15k\pi) = \frac{1}{8}(-1)^{15k} = \frac{1}{8}(-1)^k $. Получаем равенство $ (-1)^k = \frac{1}{8}(-1)^k $, которое при $ (-1)^k \neq 0 $ равносильно $ 1 = \frac{1}{8} $. Это неверное равенство. Следовательно, $ \sin x \neq 0 $, и мы можем умножить обе части уравнения на $ 16\sin x $, не теряя корней и не приобретая лишних, при условии последующего исключения корней, для которых $ \sin x = 0 $.

$ 16\sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 16\sin x \cdot \frac{1}{8}\cos 15x $

Преобразуем левую часть уравнения, последовательно применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $: $ 16\sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 8 \cdot (2\sin x \cos x) \cdot \cos 2x \cos 4x \cos 8x $ $ = 8 \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 4 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) \cdot \cos 4x \cos 8x $ $ = 4 \sin 4x \cos 4x \cos 8x = 2 \cdot (2 \sin 4x \cos 4x) \cdot \cos 8x $ $ = 2 \sin 8x \cos 8x = \sin 16x $.

Правая часть уравнения после умножения стала равна: $ 2\sin x \cos 15x $.

Таким образом, уравнение принимает вид: $ \sin 16x = 2\sin x \cos 15x $

Для правой части применим формулу преобразования произведения в сумму: $ 2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $. $ 2\sin x \cos 15x = \sin(x+15x) + \sin(x-15x) = \sin 16x + \sin(-14x) = \sin 16x - \sin 14x $.

Подставляем полученное выражение в уравнение: $ \sin 16x = \sin 16x - \sin 14x $ $ 0 = - \sin 14x $ $ \sin 14x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения являются: $ 14x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $ $ x = \frac{k\pi}{14} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо исключить из этой серии решений те, для которых $ \sin x = 0 $, то есть $ x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z} $. $ \frac{k\pi}{14} \neq n\pi $ $ \frac{k}{14} \neq n $ Это означает, что $ k $ не должно быть кратно 14, то есть $ k \neq 14n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{14}, k \in \mathbb{Z}, k \neq 14n, n \in \mathbb{Z} $.

Дано уравнение: $ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = -0,5 $.

Это сумма косинусов с аргументами, образующими арифметическую прогрессию. Для решения таких уравнений удобно домножить обе части на синус полуразности прогрессии. В данном случае разность равна $ 2x $, поэтому домножим на $ 2\sin x $.

Проверим случай $ \sin x = 0 $, т.е. $ x = k\pi, k \in \mathbb{Z} $. Подставим в левую часть уравнения: $ \cos(2k\pi) + \cos(4k\pi) + \cos(6k\pi) + \cos(8k\pi) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 $. Поскольку $ 4 \neq -0,5 $, значения $ x = k\pi $ не являются решениями уравнения, следовательно $ \sin x \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на $ 2\sin x $: $ 2\sin x (\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x) = -0,5 \cdot 2\sin x $ $ 2\sin x\cos 2x + 2\sin x\cos 4x + 2\sin x\cos 6x + 2\sin x\cos 8x = -\sin x $

Используем формулу $ 2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $ для каждого слагаемого в левой части: $ 2\sin x\cos 2x = \sin(x+2x) + \sin(x-2x) = \sin 3x - \sin x $ $ 2\sin x\cos 4x = \sin(x+4x) + \sin(x-4x) = \sin 5x - \sin 3x $ $ 2\sin x\cos 6x = \sin(x+6x) + \sin(x-6x) = \sin 7x - \sin 5x $ $ 2\sin x\cos 8x = \sin(x+8x) + \sin(x-8x) = \sin 9x - \sin 7x $

Левая часть уравнения представляет собой телескопическую сумму: $ (\sin 3x - \sin x) + (\sin 5x - \sin 3x) + (\sin 7x - \sin 5x) + (\sin 9x - \sin 7x) = \sin 9x - \sin x $.

Тогда уравнение принимает вид: $ \sin 9x - \sin x = -\sin x $ $ \sin 9x = 0 $

Решаем полученное уравнение: $ 9x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $ $ x = \frac{k\pi}{9} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Так как мы ранее установили, что $ \sin x \neq 0 $, нужно исключить из решения значения $ x = n\pi, n \in \mathbb{Z} $. $ \frac{k\pi}{9} \neq n\pi $ $ \frac{k}{9} \neq n $ Это означает, что $ k $ не должно быть кратно 9, то есть $ k \neq 9n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{9}, k \in \mathbb{Z}, k \neq 9n, n \in \mathbb{Z} $.