Номер 34.11, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.11. Решите уравнение:

1) $tg\left(2x + \frac{5\pi}{3}\right) = 2ctg2x + \frac{\sqrt{3}}{3};$

2) $\frac{2ctg x + 3}{tg\left(x + \frac{\pi}{6}\right)} = -\sqrt{3}.$

Исходное уравнение: $ \text{tg}\left(2x + \frac{5\pi}{3}\right) = 2\text{ctg}2x + \frac{\sqrt{3}}{3} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых все функции в уравнении определены: $ \cos\left(2x + \frac{5\pi}{3}\right) \neq 0 $, что означает $ 2x + \frac{5\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, и $ \sin(2x) \neq 0 $, что означает $ 2x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Упростим левую часть уравнения, используя периодичность тангенса ($ T = \pi $): $ \text{tg}\left(2x + \frac{5\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(2x + 2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) $

Применим формулу тангенса разности $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta} $: $ \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{tg}2x - \text{tg}\frac{\pi}{3}}{1 + \text{tg}2x \cdot \text{tg}\frac{\pi}{3}} = \frac{\text{tg}2x - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}\text{tg}2x} $

Правую часть уравнения запишем через тангенс, используя тождество $ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} $: $ 2\text{ctg}2x + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\text{tg}2x} + \frac{\sqrt{3}}{3} $

Сделаем замену $ y = \text{tg}2x $. Уравнение принимает вид: $ \frac{y - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}y} = \frac{2}{y} + \frac{\sqrt{3}}{3} $

Приведем правую часть к общему знаменателю и решим уравнение относительно $y$, при условии $y \neq 0$ и $1 + \sqrt{3}y \neq 0$: $ \frac{y - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}y} = \frac{6 + \sqrt{3}y}{3y} $ $ 3y(y - \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{3}y)(6 + \sqrt{3}y) $ $ 3y^2 - 3\sqrt{3}y = 6 + \sqrt{3}y + 6\sqrt{3}y + (\sqrt{3}y)^2 $ $ 3y^2 - 3\sqrt{3}y = 6 + 7\sqrt{3}y + 3y^2 $ $ -3\sqrt{3}y - 7\sqrt{3}y = 6 $ $ -10\sqrt{3}y = 6 $ $ y = -\frac{6}{10\sqrt{3}} = -\frac{3}{5\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{5} $

Вернемся к замене $ y = \text{tg}2x $: $ \text{tg}2x = -\frac{\sqrt{3}}{5} $

Полученное значение удовлетворяет ОДЗ. Находим $x$: $ 2x = \text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $ $ 2x = -\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right) + \pi n $ $ x = -\frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $ \frac{2\text{ctg}x + 3}{\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)} = -\sqrt{3} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $ \sin x \neq 0 $, т.е. $ x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \neq 0 $, т.е. $ x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $; и $ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \neq 0 $, т.е. $ x \neq -\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Преобразуем уравнение, избавившись от знаменателя: $ 2\text{ctg}x + 3 = -\sqrt{3} \cdot \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $

Выразим все тригонометрические функции через $ \sin x $ и $ \cos x $: $ 2\frac{\cos x}{\sin x} + 3 = -\sqrt{3} \frac{\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)} $

Применим формулы суммы для синуса и косинуса: $ \frac{2\cos x + 3\sin x}{\sin x} = -\sqrt{3} \frac{\sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6}}{\cos x \cos\frac{\pi}{6} - \sin x \sin\frac{\pi}{6}} $ Подставим значения $ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} $: $ \frac{2\cos x + 3\sin x}{\sin x} = -\sqrt{3} \frac{\sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2}}{\cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin x \cdot \frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}\sin x + \cos x}{\sqrt{3}\cos x - \sin x} $

Умножим обе части на знаменатели (согласно ОДЗ они не равны нулю): $ (2\cos x + 3\sin x)(\sqrt{3}\cos x - \sin x) = -\sqrt{3}\sin x(\sqrt{3}\sin x + \cos x) $ $ 2\sqrt{3}\cos^2 x - 2\sin x\cos x + 3\sqrt{3}\sin x\cos x - 3\sin^2 x = -3\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x\cos x $

Упростим полученное уравнение: $ 2\sqrt{3}\cos^2 x + (3\sqrt{3} - 2)\sin x\cos x = -\sqrt{3}\sin x\cos x $ $ 2\sqrt{3}\cos^2 x + (3\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3})\sin x\cos x = 0 $ $ 2\sqrt{3}\cos^2 x + (4\sqrt{3} - 2)\sin x\cos x = 0 $ Вынесем общий множитель $ 2\cos x $ за скобки: $ 2\cos x(\sqrt{3}\cos x + (2\sqrt{3} - 1)\sin x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ \cos x = 0 $. Решением является $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ. Проверим подстановкой в исходное уравнение: если $ x = \frac{\pi}{2} $, то $ \text{ctg}x = 0 $ и $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = -\text{ctg}\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} $. Получаем $ \frac{2 \cdot 0 + 3}{-\sqrt{3}} = \frac{3}{-\sqrt{3}} = -\sqrt{3} $. Равенство верно.

Случай 2: $ \sqrt{3}\cos x + (2\sqrt{3} - 1)\sin x = 0 $. Так как случай $ \cos x = 0 $ уже рассмотрен, можем разделить уравнение на $ \cos x \neq 0 $: $ \sqrt{3} + (2\sqrt{3} - 1)\text{tg}x = 0 $ $ (2\sqrt{3} - 1)\text{tg}x = -\sqrt{3} $ $ \text{tg}x = -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 1} = -\frac{\sqrt{3}(2\sqrt{3} + 1)}{(2\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} + 1)} = -\frac{6 + \sqrt{3}}{12 - 1} = -\frac{6 + \sqrt{3}}{11} $ Отсюда получаем вторую серию корней: $ x = \text{arctg}\left(-\frac{6 + \sqrt{3}}{11}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg}\left(\frac{6 + \sqrt{3}}{11}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.