Номер 35.4, страница 257 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.4. Решите неравенство:

1) $\cot\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \ge \sqrt{3};$

2) $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) < -\frac{\sqrt{2}}{2};$

3) $2\sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) < 1;$

4) $\tan\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{3}}{3};$

5) $\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \ge \frac{1}{2};$

6) $\sin\left(4x + \frac{\pi}{5}\right) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

1) $ctg\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \ge \sqrt{3}$
Сделаем замену переменной: пусть $t = x + \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид $ctg(t) \ge \sqrt{3}$.
Решим сначала уравнение $ctg(t) = \sqrt{3}$. Его главное решение $t = arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$. Общее решение с учетом периода $T=\pi$ будет $t = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Функция котангенса является убывающей на всей области определения. Область определения котангенса $t \ne \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, решение неравенства $ctg(t) \ge \sqrt{3}$ на одном периоде будет $0 < t \le \frac{\pi}{6}$. С учетом периодичности, получаем:
$\pi k < t \le \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = x + \frac{\pi}{6}$:
$\pi k < x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} + \pi k$
Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:
$\pi k - \frac{\pi}{6} < x \le \pi k$
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + \pi k, \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид $\cos(t) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решения уравнения $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на тригонометрической окружности - это углы $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$.
Значения косинуса меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точкам окружности, лежащим левее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, решение неравенства для $t$ с учетом периода $T=2\pi$ будет:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$
Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей:
$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{9\pi - 4\pi}{12} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{15\pi - 4\pi}{12} + 2\pi k$
$\frac{5\pi}{12} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{11\pi}{12} + 2\pi k$
Умножим все части на 2:
$\frac{5\pi}{6} + 4\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 4\pi k$
Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{6} + 4\pi k, \frac{11\pi}{6} + 4\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

3) $2\sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) < 1$
Разделим обе части на 2: $\sin\left(\frac{2\pi}{3} - x\right) < \frac{1}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{2\pi}{3} - x$. Неравенство примет вид $\sin(t) < \frac{1}{2}$.
Решения уравнения $\sin(t) = \frac{1}{2}$ на тригонометрической окружности - это углы $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.
Значения синуса меньше $\frac{1}{2}$ соответствуют точкам окружности, лежащим ниже прямой $y = \frac{1}{2}$.
Следовательно, решение неравенства для $t$ с учетом периода $T=2\pi$ будет (двигаясь по окружности против часовой стрелки от $\frac{5\pi}{6}$ к $2\pi+\frac{\pi}{6}$):
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < \frac{2\pi}{3} - x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$
Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей:
$\frac{5\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} + 2\pi k < -x < \frac{13\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < -x < \frac{9\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < -x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$
Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$-\frac{\pi}{6} - 2\pi k > x > -\frac{3\pi}{2} - 2\pi k$
Запишем в стандартном виде: $-\frac{3\pi}{2} - 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} - 2\pi k$.
Так как $k$ - любое целое число, то $-k$ также пробегает все целые значения. Заменим $-k$ на $n$ ($n \in \mathbb{Z}$):
$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

4) $tg\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{\sqrt{3}}{3}$
Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $tg(t) < \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Функция тангенса является возрастающей на всей области определения. Решение уравнения $tg(t) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ есть $t = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Область определения тангенса $t \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, решение неравенства с учетом периодичности $T=\pi$ будет:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < t < \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{6} + \pi k$
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$-\frac{3\pi}{4} + \pi k < \frac{x}{3} < \frac{2\pi - 3\pi}{12} + \pi k$
$-\frac{3\pi}{4} + \pi k < \frac{x}{3} < -\frac{\pi}{12} + \pi k$
Умножим все части на 3:
$-\frac{9\pi}{4} + 3\pi k < x < -\frac{3\pi}{12} + 3\pi k$
$-\frac{9\pi}{4} + 3\pi k < x < -\frac{\pi}{4} + 3\pi k$
Ответ: $x \in (-\frac{9\pi}{4} + 3\pi k, -\frac{\pi}{4} + 3\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

5) $\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \ge \frac{1}{2}$
Сделаем замену переменной: пусть $t = x - \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид $\cos(t) \ge \frac{1}{2}$.
Решения уравнения $\cos(t) = \frac{1}{2}$ - это $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Значения косинуса больше или равны $\frac{1}{2}$ соответствуют точкам окружности, лежащим правее или на прямой $x = \frac{1}{2}$.
Следовательно, решение неравенства для $t$ с учетом периода $T=2\pi$ будет:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям:
$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{2\pi - \pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{2\pi + \pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

6) $\sin\left(4x + \frac{\pi}{5}\right) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Сделаем замену переменной: пусть $t = 4x + \frac{\pi}{5}$. Неравенство примет вид $\sin(t) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решения уравнения $\sin(t) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ - это $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Значения синуса меньше или равны $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точкам окружности, лежащим ниже или на прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, решение неравенства для $t$ с учетом периода $T=2\pi$ будет:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 4x + \frac{\pi}{5} \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Вычтем $\frac{\pi}{5}$ из всех частей:
$-\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k \le 4x \le -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k$
$\frac{-10\pi - 3\pi}{15} + 2\pi k \le 4x \le \frac{-5\pi - 3\pi}{15} + 2\pi k$
$-\frac{13\pi}{15} + 2\pi k \le 4x \le -\frac{8\pi}{15} + 2\pi k$
Разделим все части на 4:
$-\frac{13\pi}{60} + \frac{2\pi k}{4} \le x \le -\frac{8\pi}{60} + \frac{2\pi k}{4}$
$-\frac{13\pi}{60} + \frac{\pi k}{2} \le x \le -\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi k}{2}$
Ответ: $x \in [-\frac{13\pi}{60} + \frac{\pi k}{2}, -\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi k}{2}], k \in \mathbb{Z}$.