Номер 35.2, страница 257 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.2. Решите неравенство:

1) $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\sin x > -\frac{1}{2}$;

3) $\cos x \le \frac{1}{2}$;

4) $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

5) $\text{tg} x \ge -1$;

6) $\text{tg} x < -\sqrt{3}$;

7) $\text{ctg} x > \frac{\sqrt{3}}{3}$;

8) $\text{ctg} x \le 1$;

9) $\cos x > \frac{3}{5}$;

10) $\text{ctg} x < 2$.

1)

Решим неравенство $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это углы $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$.
Неравенству удовлетворяют все точки на единичной окружности, ордината (координата y) которых меньше или равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует дуге, которая начинается в точке $\frac{3\pi}{4}$ и идет по часовой стрелке до точки $\frac{\pi}{4}$.
Для записи решения в виде одного интервала можно использовать, например, промежуток от $-\frac{5\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$.
С учетом периодичности функции синус, общее решение неравенства:
$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $\sin x > -\frac{1}{2}$.
Корни уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ — это $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$.
Неравенству удовлетворяют точки на единичной окружности, ордината которых больше $-\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, идущей против часовой стрелки от точки $-\frac{\pi}{6}$ до точки $\frac{7\pi}{6}$.
С учетом периодичности, общее решение:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

3)

Решим неравенство $\cos x \le \frac{1}{2}$.
Корни уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ — это $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$.
Неравенству удовлетворяют точки на единичной окружности, абсцисса (координата x) которых не превышает $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, идущей против часовой стрелки от точки $\frac{\pi}{3}$ до точки $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.
С учетом периодичности, общее решение:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4)

Решим неравенство $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — это $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$.
Неравенству удовлетворяют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует дуге, идущей против часовой стрелки от точки $-\frac{\pi}{6}$ до точки $\frac{\pi}{6}$.
С учетом периодичности, общее решение:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

5)

Решим неравенство $\tan x \ge -1$.
Область определения тангенса: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Корень уравнения $\tan x = -1$ — это $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.
Функция $y = \tan x$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим один такой интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На нем решение неравенства — это промежуток от точки, где $\tan x = -1$, до правой асимптоты.
Таким образом, $-\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$. С учетом периодичности $\pi$, общее решение:
$-\frac{\pi}{4} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

6)

Решим неравенство $\tan x < -\sqrt{3}$.
Область определения тангенса: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Корень уравнения $\tan x = -\sqrt{3}$ — это $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $\tan x$ возрастает. Значения, меньшие $-\sqrt{3}$, находятся между левой асимптотой и точкой $x = -\frac{\pi}{3}$.
Таким образом, $-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{3}$. С учетом периодичности $\pi$, общее решение:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{\pi}{3} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

7)

Решим неравенство $\cot x > \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Область определения котангенса: $x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Корень уравнения $\cot x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — это $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$.
Функция $y = \cot x$ является убывающей на каждом интервале своей области определения. Рассмотрим один такой интервал $(0, \pi)$. На нем значения котангенса больше $\frac{\sqrt{3}}{3}$ находятся между левой асимптотой и точкой $x = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, $0 < x < \frac{\pi}{3}$. С учетом периодичности $\pi$, общее решение:
$\pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi k, \frac{\pi}{3} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

8)

Решим неравенство $\cot x \le 1$.
Область определения котангенса: $x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Корень уравнения $\cot x = 1$ — это $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.
На интервале $(0, \pi)$ функция $\cot x$ убывает. Значения, меньшие или равные 1, находятся между точкой $x = \frac{\pi}{4}$ и правой асимптотой.
Таким образом, $\frac{\pi}{4} \le x < \pi$. С учетом периодичности $\pi$, общее решение:
$\frac{\pi}{4} + \pi k \le x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

9)

Решим неравенство $\cos x > \frac{3}{5}$.
Корни уравнения $\cos x = \frac{3}{5}$ выражаются через арккосинус: $x = \pm\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k$.
На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки, абсцисса которых больше $\frac{3}{5}$. Это дуга, идущая против часовой стрелки от точки $-\arccos(\frac{3}{5})$ до точки $\arccos(\frac{3}{5})$.
С учетом периодичности, общее решение:
$-\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k < x < \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k, \arccos(\frac{3}{5}) + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

10)

Решим неравенство $\cot x < 2$.
Область определения котангенса: $x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Корень уравнения $\cot x = 2$ выражается через арккотангенс: $x = \text{arccot}(2) + \pi k$.
На интервале $(0, \pi)$ функция $\cot x$ убывает. Значения, меньшие 2, находятся между точкой $x = \text{arccot}(2)$ и правой асимптотой.
Таким образом, $\text{arccot}(2) < x < \pi$. С учетом периодичности $\pi$, общее решение:
$\text{arccot}(2) + \pi k < x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\text{arccot}(2) + \pi k, \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.