Номер 34.12, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.12. Решите уравнение:

1) $\text{tg } 2x + \text{sin } 2x = \frac{8}{3} \text{ctg } x;$

2) $\text{tg } \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \text{ctg } 2x;$

3) $2\text{tg } \left(\frac{\pi}{4} + x\right) + 5\sqrt{3} \text{tg } \left(\frac{\pi}{3} + x\right) = -7.$

1) $\tg2x + \sin2x = \frac{8}{3}\ctg x$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$
$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n$
$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$
Объединяя условия, получаем $x \neq \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используем формулы двойного угла, выраженные через тангенс половинного угла $t = \tg x$:
$\tg 2x = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} = \frac{2t}{1-t^2}$
$\sin 2x = \frac{2\tg x}{1 + \tg^2 x} = \frac{2t}{1+t^2}$
$\ctg x = \frac{1}{\tg x} = \frac{1}{t}$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{2t}{1-t^2} + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{t}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{2t(1+t^2) + 2t(1-t^2)}{(1-t^2)(1+t^2)} = \frac{8}{3t}$
$\frac{2t + 2t^3 + 2t - 2t^3}{1-t^4} = \frac{8}{3t}$
$\frac{4t}{1-t^4} = \frac{8}{3t}$
По свойству пропорции:
$4t \cdot 3t = 8(1-t^4)$
$12t^2 = 8 - 8t^4$
$8t^4 + 12t^2 - 8 = 0$
Разделим уравнение на 4:
$2t^4 + 3t^2 - 2 = 0$
Сделаем замену $y = t^2$, где $y \ge 0$:
$2y^2 + 3y - 2 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3-5}{4} = -2$
Корень $y_2 = -2$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Возвращаемся к замене:
$t^2 = \frac{1}{2} \implies t = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
Теперь решаем два уравнения:
1. $\tg x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2. $\tg x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = -\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Эти решения можно объединить в одну формулу.
Ответ: $x = \pm \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3\ctg2x$
Пусть $y=2x$. Уравнение примет вид:
$\tg\left(y-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3\ctg y$
ОДЗ: $\cos(y - \pi/3) \neq 0$, $\sin y \neq 0$, $\cos y \neq 0$.
Используем формулу тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}$.
$\frac{\tg y - \tg(\pi/3)}{1+\tg y \cdot \tg(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{\tg y}$
Так как $\tg(\pi/3) = \sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, пусть $t = \tg y$:
$\frac{t - \sqrt{3}}{1+t\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3}{t}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{t - \sqrt{3}}{1+t\sqrt{3}} = \frac{t+3\sqrt{3}}{t\sqrt{3}}$
По свойству пропорции:
$t\sqrt{3}(t - \sqrt{3}) = (1+t\sqrt{3})(t+3\sqrt{3})$
$t^2\sqrt{3} - 3t = t + 3\sqrt{3} + 3t^2 + 9t$
$t^2\sqrt{3} - 3t = 3t^2 + 10t + 3\sqrt{3}$
Это уравнение не упрощается так, как ожидалось. Проверим преобразование $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{t}$: $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{t} = \frac{t\sqrt{3} + 9}{3t}$. Попробуем с этим выражением.
$\frac{t - \sqrt{3}}{1+t\sqrt{3}} = \frac{t\sqrt{3} + 9}{3t}$
$3t(t - \sqrt{3}) = (1+t\sqrt{3})(t\sqrt{3} + 9)$
$3t^2 - 3t\sqrt{3} = t\sqrt{3} + 9 + t\sqrt{3} \cdot t\sqrt{3} + 9t\sqrt{3}$
$3t^2 - 3t\sqrt{3} = t\sqrt{3} + 9 + 3t^2 + 9t\sqrt{3}$
Слагаемые $3t^2$ взаимно уничтожаются.
$-3t\sqrt{3} = 10t\sqrt{3} + 9$
$-13t\sqrt{3} = 9$
$t = -\frac{9}{13\sqrt{3}} = -\frac{9\sqrt{3}}{13 \cdot 3} = -\frac{3\sqrt{3}}{13}$
Возвращаемся к замене $t = \tg y = \tg 2x$:
$\tg 2x = -\frac{3\sqrt{3}}{13}$
$2x = \text{arctg}\left(-\frac{3\sqrt{3}}{13}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = -\text{arctg}\left(\frac{3\sqrt{3}}{13}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{3\sqrt{3}}{13}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{3\sqrt{3}}{13}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $2\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right) + 5\sqrt{3}\tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = -7$
Используем формулы тангенса суммы: $\tg(\alpha+\beta) = \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \frac{\tg(\pi/4)+\tg x}{1-\tg(\pi/4)\tg x} = \frac{1+\tg x}{1-\tg x}$
$\tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{\tg(\pi/3)+\tg x}{1-\tg(\pi/3)\tg x} = \frac{\sqrt{3}+\tg x}{1-\sqrt{3}\tg x}$
Сделаем замену $t = \tg x$. ОДЗ: $1-t \neq 0 \implies t \neq 1$; $1-\sqrt{3}t \neq 0 \implies t \neq \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Уравнение принимает вид:
$2\frac{1+t}{1-t} + 5\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}+t}{1-\sqrt{3}t} = -7$
$2\frac{1+t}{1-t} + \frac{5\sqrt{3}(\sqrt{3}+t)}{1-\sqrt{3}t} = -7$
$2\frac{1+t}{1-t} + \frac{15+5\sqrt{3}t}{1-\sqrt{3}t} = -7$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(1-t)(1-\sqrt{3}t)$: $2(1+t)(1-\sqrt{3}t) + (15+5\sqrt{3}t)(1-t) = -7(1-t)(1-\sqrt{3}t)$
Раскроем скобки:
$2(1-\sqrt{3}t+t-\sqrt{3}t^2) + (15-15t+5\sqrt{3}t-5\sqrt{3}t^2) = -7(1-\sqrt{3}t-t+\sqrt{3}t^2)$
$2 - 2\sqrt{3}t + 2t - 2\sqrt{3}t^2 + 15 - 15t + 5\sqrt{3}t - 5\sqrt{3}t^2 = -7 + 7\sqrt{3}t + 7t - 7\sqrt{3}t^2$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$(2+15) + (2-15-2\sqrt{3}+5\sqrt{3})t + (-2\sqrt{3}-5\sqrt{3})t^2 = -7 + (7+7\sqrt{3})t - 7\sqrt{3}t^2$
$17 + (-13+3\sqrt{3})t - 7\sqrt{3}t^2 = -7 + (7+7\sqrt{3})t - 7\sqrt{3}t^2$
Слагаемые с $t^2$ взаимно уничтожаются:
$17 + (-13+3\sqrt{3})t = -7 + (7+7\sqrt{3})t$
Сгруппируем слагаемые с $t$ в одной части, а константы в другой:
$17+7 = (7+7\sqrt{3})t - (-13+3\sqrt{3})t$
$24 = (7+7\sqrt{3}+13-3\sqrt{3})t$
$24 = (20+4\sqrt{3})t$
$t = \frac{24}{20+4\sqrt{3}} = \frac{24}{4(5+\sqrt{3})} = \frac{6}{5+\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$t = \frac{6(5-\sqrt{3})}{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})} = \frac{6(5-\sqrt{3})}{25-3} = \frac{6(5-\sqrt{3})}{22} = \frac{3(5-\sqrt{3})}{11}$
Возвращаемся к замене $t=\tg x$:
$\tg x = \frac{15-3\sqrt{3}}{11}$
$x = \text{arctg}\left(\frac{15-3\sqrt{3}}{11}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \text{arctg}\left(\frac{15-3\sqrt{3}}{11}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.