Страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.7. Решите уравнение:

1) $ \sqrt{\sin x \cos x} = 0; $

2) $ \sqrt{\operatorname{ctg} x - \sqrt{3}} \cos x = 0; $

3) $ \sqrt{\cos x} (8 \sin x + 5 - 2 \cos 2x) = 0. $

1) Решить уравнение $\sqrt{\sin x} \cos x = 0$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой подкоренное выражение неотрицательно, и один из множителей равен нулю:

$\begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} \sqrt{\sin x} = 0 \\ \cos x = 0 \end{gathered} \right. \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} \sin x = 0 \\ \cos x = 0 \end{gathered} \right. \end{cases}$

Рассмотрим два случая из совокупности:

а) $\sin x = 0$. Решениями являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют условию $\sin x \ge 0$, так как $\sin(\pi n) = 0$. Следовательно, вся серия корней $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ является решением исходного уравнения.

б) $\cos x = 0$. Решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Теперь необходимо проверить условие $\sin x \ge 0$ для этих корней.

$\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$.

Неравенство $(-1)^k \ge 0$ выполняется только при четных значениях $k$. Положим $k = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Тогда подходящие решения из этой серии имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) Решить уравнение $\sqrt{\ctg x} - \sqrt{3} \cos x = 0$.

Перенесем второе слагаемое в правую часть: $\sqrt{\ctg x} = \sqrt{3} \cos x$.

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \ctg x = (\sqrt{3} \cos x)^2 \\ \cos x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{\cos x}{\sin x} = 3 \cos^2 x \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

Условие области определения $\ctg x \ge 0$ следует из первого уравнения системы ($\ctg x = 3\cos^2 x \ge 0$), поэтому его можно не добавлять отдельно. Решим уравнение системы:

$\frac{\cos x}{\sin x} - 3 \cos^2 x = 0$

$\cos x \left(\frac{1}{\sin x} - 3 \cos x\right) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

а) $\cos x = 0$. Это удовлетворяет условию $\cos x \ge 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{1}{\sin x} - 3 \cos x = 0 \implies 1 = 3 \sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

$1 = \frac{3}{2} (2 \sin x \cos x) \implies 1 = \frac{3}{2} \sin(2x) \implies \sin(2x) = \frac{2}{3}$.

Решения этого уравнения:

$2x = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi m \implies x = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

$2x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем из этих серий те корни, для которых выполняется условие $\cos x \ge 0$.

Для серии $x = \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2}{3}) + \pi m$: $\cos x \ge 0$ при четных $m$. Полагая $m=2n$, получаем $x = \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для серии $x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2}{3}) + \pi m$: $\cos x \ge 0$ также при четных $m$. Полагая $m=2n$, получаем $x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решить уравнение $\sqrt{\cos x} (8\sin x + 5 - 2\cos(2x)) = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} \sqrt{\cos x} = 0 \\ 8\sin x + 5 - 2\cos(2x) = 0 \end{gathered} \right. \end{cases}$

Рассмотрим два случая из совокупности:

а) $\sqrt{\cos x} = 0 \implies \cos x = 0$. Это удовлетворяет условию $\cos x \ge 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $8\sin x + 5 - 2\cos(2x) = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести уравнение к квадратному относительно $\sin x$:

$8\sin x + 5 - 2(1 - 2\sin^2 x) = 0$

$8\sin x + 5 - 2 + 4\sin^2 x = 0$

$4\sin^2 x + 8\sin x + 3 = 0$

Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 + 8t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни: $t_1 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = -3/2$ не подходит, так как $|-3/2| > 1$.

Возвращаемся к переменной $x$: $\sin x = -\frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Проверим для этих серий выполнение условия $\cos x \ge 0$.

Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: $\cos(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$. Эта серия является решением.

Для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$: $\cos(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Эта серия не является решением.

Объединяя решения из случаев а) и б), получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

34.8. Решите уравнение:

1) $\sqrt{\cos x \sin x} = 0$

2) $\sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x} = 0$

3) $\sqrt{\sin x (4 - 5 \cos x - 2 \sin^2 x)} = 0$

1) $\sqrt{\cos x} \sin x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $\cos x \ge 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Рассмотрим два случая:

а) $\sin x = 0$.
Решениями этого уравнения являются $x = \pi n$, где $n \in Z$.
Необходимо проверить, удовлетворяют ли эти решения условию ОДЗ $\cos x \ge 0$.
- Если $n$ — четное число, т.е. $n = 2k$ ($k \in Z$), то $x = 2\pi k$. В этих точках $\cos(2\pi k) = 1$, что удовлетворяет условию $1 \ge 0$. Следовательно, серия корней $x = 2\pi k, k \in Z$ является решением исходного уравнения.
- Если $n$ — нечетное число, т.е. $n = 2k + 1$ ($k \in Z$), то $x = \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k$. В этих точках $\cos(\pi + 2\pi k) = -1$, что не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$. Следовательно, эти корни являются посторонними.

б) $\sqrt{\cos x} = 0$.
Это уравнение равносильно уравнению $\cos x = 0$.
Решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.
При этих значениях $x$ условие ОДЗ $\cos x \ge 0$ выполняется, так как $\cos x = 0$.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in Z$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

2) $\sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}} \sin x = 0$

ОДЗ уравнения: $\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$, что эквивалентно $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Уравнение распадается на два случая:

а) $\sin x = 0$ (при выполнении ОДЗ).
Решения: $x = \pi k, k \in Z$.
Проверим ОДЗ $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.
- При $x = 2\pi n$ ($n \in Z$), $\cos(2\pi n) = 1$. Неравенство $1 \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ верно, значит, $x = 2\pi n, n \in Z$ — решения.
- При $x = \pi + 2\pi n$ ($n \in Z$), $\cos(\pi + 2\pi n) = -1$. Неравенство $-1 \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ неверно, значит, эти корни не являются решениями.

б) $\sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 0$.
Это уравнение равносильно $\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$, то есть $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$.
Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos x$ в точности равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объединяем все найденные серии решений.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in Z$; $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$.

3) $\sqrt{\sin x} (4 - 5\cos x - 2\sin^2 x) = 0$

ОДЗ уравнения: $\sin x \ge 0$.

Уравнение равносильно совокупности двух систем:

а) $\sqrt{\sin x} = 0$.
Это равносильно $\sin x = 0$. Решениями являются $x = \pi n, n \in Z$.
Все эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\sin(\pi n) = 0 \ge 0$.

б) $4 - 5\cos x - 2\sin^2 x = 0$ при условии $\sin x \ge 0$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$4 - 5\cos x - 2(1 - \cos^2 x) = 0$
$4 - 5\cos x - 2 + 2\cos^2 x = 0$
$2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$
Введем замену $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.
$2t^2 - 5t + 2 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$
Возвращаемся к замене. Корень $t_2 = 2$ не подходит, так как $|\cos x| \le 1$.
Остается $\cos x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.
Проверим эти решения на соответствие ОДЗ $\sin x \ge 0$.
- Для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: $\sin(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$. Эта серия корней подходит.
- Для $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: $\sin(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Эта серия корней не подходит.

Объединяем решения из случаев а) и б).

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.

34.9. Решите уравнение:

1) $\cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{16}$;

2) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = -0.5$.

1) Дано уравнение $\cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{16}$.

Сначала проверим, не является ли $\sin x = 0$ решением. Если $\sin x = 0$, то $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\cos x = (-1)^k$, а $\cos(2n x) = \cos(2nk\pi) = 1$ для $n=1, 2, 4$. Левая часть уравнения становится равной $(-1)^k \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = (-1)^k$. Уравнение $(-1)^k = \frac{1}{16}$ не имеет решений в целых числах $k$. Следовательно, $\sin x \neq 0$, и мы можем умножить обе части уравнения на $16\sin x$, не опасаясь потери или приобретения корней.

$16 \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$

Применим последовательно формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$8 \cdot (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 8 \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \sin x$

$4 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x \cos 8x = 4 \sin 4x \cos 4x \cos 8x = \sin x$

$2 \cdot (2 \sin 4x \cos 4x) \cos 8x = 2 \sin 8x \cos 8x = \sin x$

В результате получаем уравнение:

$\sin 16x = \sin x$

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$\sin 16x - \sin x = 0$

$2 \sin\frac{16x-x}{2} \cos\frac{16x+x}{2} = 0$

$2 \sin\frac{15x}{2} \cos\frac{17x}{2} = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\sin\frac{15x}{2} = 0 \implies \frac{15x}{2} = \pi n \implies x = \frac{2\pi n}{15}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos\frac{17x}{2} = 0 \implies \frac{17x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi(1+2k)}{17}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо исключить из этих серий решений те, для которых $\sin x = 0$, то есть $x = m\pi$ для $m \in \mathbb{Z}$.

Для первой серии: $\frac{2\pi n}{15} = m\pi \implies 2n = 15m$. Так как числа 2 и 15 взаимно просты, $n$ должно быть кратно 15. Значит, $n \neq 15p$ для любого $p \in \mathbb{Z}$.

Для второй серии: $\frac{\pi(1+2k)}{17} = m\pi \implies 1+2k = 17m$. Это диофантово уравнение. $17m - 2k = 1$. Так как $17m$ должно быть нечетным, $m$ должно быть нечетным, $m = 2p+1$ для $p \in \mathbb{Z}$. Тогда $1+2k = 17(2p+1) = 34p+17$, откуда $2k = 34p+16$, и $k = 17p+8$. Значит, $k$ не может быть вида $17p+8$.

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{15}$, где $n \in \mathbb{Z}$, $n \neq 15m$ для $m \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi(2k+1)}{17}$, где $k \in \mathbb{Z}$, $k \neq 17p+8$ для $p \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = -0,5$.

Для решения этого типа уравнений (сумма косинусов с аргументами, образующими арифметическую прогрессию) удобно умножить обе части на $2\sin\frac{d}{2}$, где $d$ — разность прогрессии. В нашем случае $d=x$.

Умножим обе части уравнения на $2\sin\frac{x}{2}$. Этот метод требует, чтобы $\sin\frac{x}{2} \neq 0$, то есть $x \neq 2m\pi$ для $m \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли значения $x=2m\pi$ решениями исходного уравнения. При $x=2m\pi$ все косинусы в левой части равны 1, и их сумма равна $1+1+1+1=4$. Так как $4 \neq -0,5$, то $x \neq 2m\pi$, и умножение на $2\sin\frac{x}{2}$ является корректным преобразованием.

$2\sin\frac{x}{2}(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x) = -0,5 \cdot 2\sin\frac{x}{2}$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу произведения синуса на косинус $2\sin A \cos B = \sin(B+A) - \sin(B-A)$:

$(2\sin\frac{x}{2}\cos x) + (2\sin\frac{x}{2}\cos 2x) + (2\sin\frac{x}{2}\cos 3x) + (2\sin\frac{x}{2}\cos 4x) = -\sin\frac{x}{2}$

$(\sin\frac{3x}{2} - \sin\frac{x}{2}) + (\sin\frac{5x}{2} - \sin\frac{3x}{2}) + (\sin\frac{7x}{2} - \sin\frac{5x}{2}) + (\sin\frac{9x}{2} - \sin\frac{7x}{2}) = -\sin\frac{x}{2}$

Слагаемые в левой части попарно уничтожаются (телескопическая сумма), и уравнение упрощается:

$\sin\frac{9x}{2} - \sin\frac{x}{2} = -\sin\frac{x}{2}$

$\sin\frac{9x}{2} = 0$

Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение:

$\frac{9x}{2} = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{2k\pi}{9}$

Теперь вспомним наше ограничение $x \neq 2m\pi$. Найдем, при каких $k$ полученные решения совпадают с исключенными значениями:

$\frac{2k\pi}{9} = 2m\pi \implies \frac{k}{9} = m$

Это означает, что $k$ должно быть кратно 9. Такие значения $k$ необходимо исключить.

Ответ: $x = \frac{2k\pi}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k$ не кратно 9.

34.10. Решите уравнение:

1) $ \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{8} \cos 15x; $

2) $ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = -0.5. $

Дано уравнение: $ \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = \frac{1}{8}\cos 15x $.

Сначала проверим, могут ли быть решениями уравнения значения $ x $, для которых $ \sin x = 0 $, то есть $ x = k\pi, k \in \mathbb{Z} $. Подставим $ x = k\pi $ в исходное уравнение. Левая часть примет вид: $ \cos(k\pi) \cos(2k\pi) \cos(4k\pi) \cos(8k\pi) = (-1)^k \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = (-1)^k $. Правая часть: $ \frac{1}{8}\cos(15k\pi) = \frac{1}{8}(-1)^{15k} = \frac{1}{8}(-1)^k $. Получаем равенство $ (-1)^k = \frac{1}{8}(-1)^k $, которое при $ (-1)^k \neq 0 $ равносильно $ 1 = \frac{1}{8} $. Это неверное равенство. Следовательно, $ \sin x \neq 0 $, и мы можем умножить обе части уравнения на $ 16\sin x $, не теряя корней и не приобретая лишних, при условии последующего исключения корней, для которых $ \sin x = 0 $.

$ 16\sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 16\sin x \cdot \frac{1}{8}\cos 15x $

Преобразуем левую часть уравнения, последовательно применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $: $ 16\sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 8 \cdot (2\sin x \cos x) \cdot \cos 2x \cos 4x \cos 8x $ $ = 8 \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x = 4 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) \cdot \cos 4x \cos 8x $ $ = 4 \sin 4x \cos 4x \cos 8x = 2 \cdot (2 \sin 4x \cos 4x) \cdot \cos 8x $ $ = 2 \sin 8x \cos 8x = \sin 16x $.

Правая часть уравнения после умножения стала равна: $ 2\sin x \cos 15x $.

Таким образом, уравнение принимает вид: $ \sin 16x = 2\sin x \cos 15x $

Для правой части применим формулу преобразования произведения в сумму: $ 2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $. $ 2\sin x \cos 15x = \sin(x+15x) + \sin(x-15x) = \sin 16x + \sin(-14x) = \sin 16x - \sin 14x $.

Подставляем полученное выражение в уравнение: $ \sin 16x = \sin 16x - \sin 14x $ $ 0 = - \sin 14x $ $ \sin 14x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения являются: $ 14x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $ $ x = \frac{k\pi}{14} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо исключить из этой серии решений те, для которых $ \sin x = 0 $, то есть $ x \neq n\pi, n \in \mathbb{Z} $. $ \frac{k\pi}{14} \neq n\pi $ $ \frac{k}{14} \neq n $ Это означает, что $ k $ не должно быть кратно 14, то есть $ k \neq 14n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{14}, k \in \mathbb{Z}, k \neq 14n, n \in \mathbb{Z} $.

Дано уравнение: $ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x = -0,5 $.

Это сумма косинусов с аргументами, образующими арифметическую прогрессию. Для решения таких уравнений удобно домножить обе части на синус полуразности прогрессии. В данном случае разность равна $ 2x $, поэтому домножим на $ 2\sin x $.

Проверим случай $ \sin x = 0 $, т.е. $ x = k\pi, k \in \mathbb{Z} $. Подставим в левую часть уравнения: $ \cos(2k\pi) + \cos(4k\pi) + \cos(6k\pi) + \cos(8k\pi) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 $. Поскольку $ 4 \neq -0,5 $, значения $ x = k\pi $ не являются решениями уравнения, следовательно $ \sin x \neq 0 $.

Умножим обе части уравнения на $ 2\sin x $: $ 2\sin x (\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x + \cos 8x) = -0,5 \cdot 2\sin x $ $ 2\sin x\cos 2x + 2\sin x\cos 4x + 2\sin x\cos 6x + 2\sin x\cos 8x = -\sin x $

Используем формулу $ 2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) $ для каждого слагаемого в левой части: $ 2\sin x\cos 2x = \sin(x+2x) + \sin(x-2x) = \sin 3x - \sin x $ $ 2\sin x\cos 4x = \sin(x+4x) + \sin(x-4x) = \sin 5x - \sin 3x $ $ 2\sin x\cos 6x = \sin(x+6x) + \sin(x-6x) = \sin 7x - \sin 5x $ $ 2\sin x\cos 8x = \sin(x+8x) + \sin(x-8x) = \sin 9x - \sin 7x $

Левая часть уравнения представляет собой телескопическую сумму: $ (\sin 3x - \sin x) + (\sin 5x - \sin 3x) + (\sin 7x - \sin 5x) + (\sin 9x - \sin 7x) = \sin 9x - \sin x $.

Тогда уравнение принимает вид: $ \sin 9x - \sin x = -\sin x $ $ \sin 9x = 0 $

Решаем полученное уравнение: $ 9x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $ $ x = \frac{k\pi}{9} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Так как мы ранее установили, что $ \sin x \neq 0 $, нужно исключить из решения значения $ x = n\pi, n \in \mathbb{Z} $. $ \frac{k\pi}{9} \neq n\pi $ $ \frac{k}{9} \neq n $ Это означает, что $ k $ не должно быть кратно 9, то есть $ k \neq 9n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{9}, k \in \mathbb{Z}, k \neq 9n, n \in \mathbb{Z} $.

34.11. Решите уравнение:

1) $tg\left(2x + \frac{5\pi}{3}\right) = 2ctg2x + \frac{\sqrt{3}}{3};$

2) $\frac{2ctg x + 3}{tg\left(x + \frac{\pi}{6}\right)} = -\sqrt{3}.$

Исходное уравнение: $ \text{tg}\left(2x + \frac{5\pi}{3}\right) = 2\text{ctg}2x + \frac{\sqrt{3}}{3} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых все функции в уравнении определены: $ \cos\left(2x + \frac{5\pi}{3}\right) \neq 0 $, что означает $ 2x + \frac{5\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, и $ \sin(2x) \neq 0 $, что означает $ 2x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Упростим левую часть уравнения, используя периодичность тангенса ($ T = \pi $): $ \text{tg}\left(2x + \frac{5\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(2x + 2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) $

Применим формулу тангенса разности $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta} $: $ \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\text{tg}2x - \text{tg}\frac{\pi}{3}}{1 + \text{tg}2x \cdot \text{tg}\frac{\pi}{3}} = \frac{\text{tg}2x - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}\text{tg}2x} $

Правую часть уравнения запишем через тангенс, используя тождество $ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} $: $ 2\text{ctg}2x + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\text{tg}2x} + \frac{\sqrt{3}}{3} $

Сделаем замену $ y = \text{tg}2x $. Уравнение принимает вид: $ \frac{y - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}y} = \frac{2}{y} + \frac{\sqrt{3}}{3} $

Приведем правую часть к общему знаменателю и решим уравнение относительно $y$, при условии $y \neq 0$ и $1 + \sqrt{3}y \neq 0$: $ \frac{y - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}y} = \frac{6 + \sqrt{3}y}{3y} $ $ 3y(y - \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{3}y)(6 + \sqrt{3}y) $ $ 3y^2 - 3\sqrt{3}y = 6 + \sqrt{3}y + 6\sqrt{3}y + (\sqrt{3}y)^2 $ $ 3y^2 - 3\sqrt{3}y = 6 + 7\sqrt{3}y + 3y^2 $ $ -3\sqrt{3}y - 7\sqrt{3}y = 6 $ $ -10\sqrt{3}y = 6 $ $ y = -\frac{6}{10\sqrt{3}} = -\frac{3}{5\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{5} $

Вернемся к замене $ y = \text{tg}2x $: $ \text{tg}2x = -\frac{\sqrt{3}}{5} $

Полученное значение удовлетворяет ОДЗ. Находим $x$: $ 2x = \text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{5}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $ $ 2x = -\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right) + \pi n $ $ x = -\frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $ \frac{2\text{ctg}x + 3}{\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right)} = -\sqrt{3} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $ \sin x \neq 0 $, т.е. $ x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $; $ \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \neq 0 $, т.е. $ x \neq \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $; и $ \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \neq 0 $, т.е. $ x \neq -\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Преобразуем уравнение, избавившись от знаменателя: $ 2\text{ctg}x + 3 = -\sqrt{3} \cdot \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{6}\right) $

Выразим все тригонометрические функции через $ \sin x $ и $ \cos x $: $ 2\frac{\cos x}{\sin x} + 3 = -\sqrt{3} \frac{\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)}{\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)} $

Применим формулы суммы для синуса и косинуса: $ \frac{2\cos x + 3\sin x}{\sin x} = -\sqrt{3} \frac{\sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6}}{\cos x \cos\frac{\pi}{6} - \sin x \sin\frac{\pi}{6}} $ Подставим значения $ \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} $: $ \frac{2\cos x + 3\sin x}{\sin x} = -\sqrt{3} \frac{\sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2}}{\cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin x \cdot \frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}\sin x + \cos x}{\sqrt{3}\cos x - \sin x} $

Умножим обе части на знаменатели (согласно ОДЗ они не равны нулю): $ (2\cos x + 3\sin x)(\sqrt{3}\cos x - \sin x) = -\sqrt{3}\sin x(\sqrt{3}\sin x + \cos x) $ $ 2\sqrt{3}\cos^2 x - 2\sin x\cos x + 3\sqrt{3}\sin x\cos x - 3\sin^2 x = -3\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x\cos x $

Упростим полученное уравнение: $ 2\sqrt{3}\cos^2 x + (3\sqrt{3} - 2)\sin x\cos x = -\sqrt{3}\sin x\cos x $ $ 2\sqrt{3}\cos^2 x + (3\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3})\sin x\cos x = 0 $ $ 2\sqrt{3}\cos^2 x + (4\sqrt{3} - 2)\sin x\cos x = 0 $ Вынесем общий множитель $ 2\cos x $ за скобки: $ 2\cos x(\sqrt{3}\cos x + (2\sqrt{3} - 1)\sin x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ \cos x = 0 $. Решением является $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ. Проверим подстановкой в исходное уравнение: если $ x = \frac{\pi}{2} $, то $ \text{ctg}x = 0 $ и $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\right) = -\text{ctg}\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} $. Получаем $ \frac{2 \cdot 0 + 3}{-\sqrt{3}} = \frac{3}{-\sqrt{3}} = -\sqrt{3} $. Равенство верно.

Случай 2: $ \sqrt{3}\cos x + (2\sqrt{3} - 1)\sin x = 0 $. Так как случай $ \cos x = 0 $ уже рассмотрен, можем разделить уравнение на $ \cos x \neq 0 $: $ \sqrt{3} + (2\sqrt{3} - 1)\text{tg}x = 0 $ $ (2\sqrt{3} - 1)\text{tg}x = -\sqrt{3} $ $ \text{tg}x = -\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 1} = -\frac{\sqrt{3}(2\sqrt{3} + 1)}{(2\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} + 1)} = -\frac{6 + \sqrt{3}}{12 - 1} = -\frac{6 + \sqrt{3}}{11} $ Отсюда получаем вторую серию корней: $ x = \text{arctg}\left(-\frac{6 + \sqrt{3}}{11}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\text{arctg}\left(\frac{6 + \sqrt{3}}{11}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

34.12. Решите уравнение:

1) $\text{tg } 2x + \text{sin } 2x = \frac{8}{3} \text{ctg } x;$

2) $\text{tg } \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \text{ctg } 2x;$

3) $2\text{tg } \left(\frac{\pi}{4} + x\right) + 5\sqrt{3} \text{tg } \left(\frac{\pi}{3} + x\right) = -7.$

1) $\tg2x + \sin2x = \frac{8}{3}\ctg x$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
$\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$
$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n$
$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$
Объединяя условия, получаем $x \neq \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Используем формулы двойного угла, выраженные через тангенс половинного угла $t = \tg x$:
$\tg 2x = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} = \frac{2t}{1-t^2}$
$\sin 2x = \frac{2\tg x}{1 + \tg^2 x} = \frac{2t}{1+t^2}$
$\ctg x = \frac{1}{\tg x} = \frac{1}{t}$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{2t}{1-t^2} + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{t}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{2t(1+t^2) + 2t(1-t^2)}{(1-t^2)(1+t^2)} = \frac{8}{3t}$
$\frac{2t + 2t^3 + 2t - 2t^3}{1-t^4} = \frac{8}{3t}$
$\frac{4t}{1-t^4} = \frac{8}{3t}$
По свойству пропорции:
$4t \cdot 3t = 8(1-t^4)$
$12t^2 = 8 - 8t^4$
$8t^4 + 12t^2 - 8 = 0$
Разделим уравнение на 4:
$2t^4 + 3t^2 - 2 = 0$
Сделаем замену $y = t^2$, где $y \ge 0$:
$2y^2 + 3y - 2 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3-5}{4} = -2$
Корень $y_2 = -2$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Возвращаемся к замене:
$t^2 = \frac{1}{2} \implies t = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
Теперь решаем два уравнения:
1. $\tg x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2. $\tg x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = -\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Эти решения можно объединить в одну формулу.
Ответ: $x = \pm \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3\ctg2x$
Пусть $y=2x$. Уравнение примет вид:
$\tg\left(y-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} + 3\ctg y$
ОДЗ: $\cos(y - \pi/3) \neq 0$, $\sin y \neq 0$, $\cos y \neq 0$.
Используем формулу тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}$.
$\frac{\tg y - \tg(\pi/3)}{1+\tg y \cdot \tg(\pi/3)} = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{\tg y}$
Так как $\tg(\pi/3) = \sqrt{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, пусть $t = \tg y$:
$\frac{t - \sqrt{3}}{1+t\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{3}{t}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{t - \sqrt{3}}{1+t\sqrt{3}} = \frac{t+3\sqrt{3}}{t\sqrt{3}}$
По свойству пропорции:
$t\sqrt{3}(t - \sqrt{3}) = (1+t\sqrt{3})(t+3\sqrt{3})$
$t^2\sqrt{3} - 3t = t + 3\sqrt{3} + 3t^2 + 9t$
$t^2\sqrt{3} - 3t = 3t^2 + 10t + 3\sqrt{3}$
Это уравнение не упрощается так, как ожидалось. Проверим преобразование $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{t}$: $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{t} = \frac{t\sqrt{3} + 9}{3t}$. Попробуем с этим выражением.
$\frac{t - \sqrt{3}}{1+t\sqrt{3}} = \frac{t\sqrt{3} + 9}{3t}$
$3t(t - \sqrt{3}) = (1+t\sqrt{3})(t\sqrt{3} + 9)$
$3t^2 - 3t\sqrt{3} = t\sqrt{3} + 9 + t\sqrt{3} \cdot t\sqrt{3} + 9t\sqrt{3}$
$3t^2 - 3t\sqrt{3} = t\sqrt{3} + 9 + 3t^2 + 9t\sqrt{3}$
Слагаемые $3t^2$ взаимно уничтожаются.
$-3t\sqrt{3} = 10t\sqrt{3} + 9$
$-13t\sqrt{3} = 9$
$t = -\frac{9}{13\sqrt{3}} = -\frac{9\sqrt{3}}{13 \cdot 3} = -\frac{3\sqrt{3}}{13}$
Возвращаемся к замене $t = \tg y = \tg 2x$:
$\tg 2x = -\frac{3\sqrt{3}}{13}$
$2x = \text{arctg}\left(-\frac{3\sqrt{3}}{13}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = -\text{arctg}\left(\frac{3\sqrt{3}}{13}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{3\sqrt{3}}{13}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}\text{arctg}\left(\frac{3\sqrt{3}}{13}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $2\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right) + 5\sqrt{3}\tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = -7$
Используем формулы тангенса суммы: $\tg(\alpha+\beta) = \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$.
$\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \frac{\tg(\pi/4)+\tg x}{1-\tg(\pi/4)\tg x} = \frac{1+\tg x}{1-\tg x}$
$\tg\left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{\tg(\pi/3)+\tg x}{1-\tg(\pi/3)\tg x} = \frac{\sqrt{3}+\tg x}{1-\sqrt{3}\tg x}$
Сделаем замену $t = \tg x$. ОДЗ: $1-t \neq 0 \implies t \neq 1$; $1-\sqrt{3}t \neq 0 \implies t \neq \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Уравнение принимает вид:
$2\frac{1+t}{1-t} + 5\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}+t}{1-\sqrt{3}t} = -7$
$2\frac{1+t}{1-t} + \frac{5\sqrt{3}(\sqrt{3}+t)}{1-\sqrt{3}t} = -7$
$2\frac{1+t}{1-t} + \frac{15+5\sqrt{3}t}{1-\sqrt{3}t} = -7$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(1-t)(1-\sqrt{3}t)$: $2(1+t)(1-\sqrt{3}t) + (15+5\sqrt{3}t)(1-t) = -7(1-t)(1-\sqrt{3}t)$
Раскроем скобки:
$2(1-\sqrt{3}t+t-\sqrt{3}t^2) + (15-15t+5\sqrt{3}t-5\sqrt{3}t^2) = -7(1-\sqrt{3}t-t+\sqrt{3}t^2)$
$2 - 2\sqrt{3}t + 2t - 2\sqrt{3}t^2 + 15 - 15t + 5\sqrt{3}t - 5\sqrt{3}t^2 = -7 + 7\sqrt{3}t + 7t - 7\sqrt{3}t^2$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$(2+15) + (2-15-2\sqrt{3}+5\sqrt{3})t + (-2\sqrt{3}-5\sqrt{3})t^2 = -7 + (7+7\sqrt{3})t - 7\sqrt{3}t^2$
$17 + (-13+3\sqrt{3})t - 7\sqrt{3}t^2 = -7 + (7+7\sqrt{3})t - 7\sqrt{3}t^2$
Слагаемые с $t^2$ взаимно уничтожаются:
$17 + (-13+3\sqrt{3})t = -7 + (7+7\sqrt{3})t$
Сгруппируем слагаемые с $t$ в одной части, а константы в другой:
$17+7 = (7+7\sqrt{3})t - (-13+3\sqrt{3})t$
$24 = (7+7\sqrt{3}+13-3\sqrt{3})t$
$24 = (20+4\sqrt{3})t$
$t = \frac{24}{20+4\sqrt{3}} = \frac{24}{4(5+\sqrt{3})} = \frac{6}{5+\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$t = \frac{6(5-\sqrt{3})}{(5+\sqrt{3})(5-\sqrt{3})} = \frac{6(5-\sqrt{3})}{25-3} = \frac{6(5-\sqrt{3})}{22} = \frac{3(5-\sqrt{3})}{11}$
Возвращаемся к замене $t=\tg x$:
$\tg x = \frac{15-3\sqrt{3}}{11}$
$x = \text{arctg}\left(\frac{15-3\sqrt{3}}{11}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \text{arctg}\left(\frac{15-3\sqrt{3}}{11}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.