Страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие неравенства называют простейшими тригонометрическими неравенствами?

2. Поясните, по какой схеме проводится решение тригонометрических неравенств.

1. Какие неравенства называют простейшими тригонометрическими неравенствами?

Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида $T(x) \circ a$, где $T(x)$ — это одна из основных тригонометрических функций ($\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$), $x$ — неизвестная переменная, $a$ — действительное число, а $\circ$ — один из знаков неравенства ($>$, $<$, $\ge$, $\le$).

К ним относятся, например, неравенства:

• $\sin(x) > a$, $\sin(x) < a$, $\sin(x) \ge a$, $\sin(x) \le a$
• $\cos(x) > a$, $\cos(x) < a$, $\cos(x) \ge a$, $\cos(x) \le a$
• $\tan(x) > a$, $\tan(x) < a$, $\tan(x) \ge a$, $\tan(x) \le a$
• $\cot(x) > a$, $\cot(x) < a$, $\cot(x) \ge a$, $\cot(x) \le a$

Любое более сложное тригонометрическое неравенство в процессе решения стараются свести к одному или нескольким таким простейшим неравенствам.

Ответ: Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида $T(x) \circ a$, где $T(x)$ — одна из основных тригонометрических функций, $x$ — переменная, $a$ — действительное число, а $\circ$ — один из знаков сравнения ($>$, $<$, $\ge$, $\le$).

2. Поясните, по какой схеме проводится решение тригонометрических неравенств.

Решение тригонометрических неравенств, как правило, проводится по следующей общей схеме, состоящей из нескольких этапов:

1. Сведение к простейшему неравенству. Исходное неравенство с помощью тождественных преобразований (использование тригонометрических формул, алгебраические операции, разложение на множители) или метода замены переменной приводится к одному или нескольким простейшим тригонометрическим неравенствам. Например, неравенство $2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 \le 0$ заменой $t = \cos(x)$ сводится к квадратному неравенству $2t^2 - 3t + 1 \le 0$, решением которого является $t \in [1/2, 1]$. Это, в свою очередь, приводит к системе простейших неравенств: $\cos(x) \ge 1/2$ и $\cos(x) \le 1$.
2. Решение простейшего неравенства. Этот этап можно выполнить одним из двух наглядных способов:
   • С помощью единичной тригонометрической окружности:
     1. На соответствующей оси (ось OY для синуса, ось OX для косинуса) отмечается значение $a$.
     2. На окружности выделяется дуга, все точки которой удовлетворяют неравенству. Например, для $\sin(x) > a$ это будет дуга, точки которой лежат выше прямой $y=a$.
     3. Определяются углы, соответствующие граничным точкам этой дуги, путем решения уравнения $T(x) = a$. Пусть это углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$.
     4. Записывается решение на одном обороте (промежутке длиной $2\pi$), например, $x \in (\alpha_1, \alpha_2)$.
     5. Учитывая периодичность тригонометрической функции, к концам найденного интервала добавляется $2\pi k$ для синуса и косинуса, или $\pi k$ для тангенса и котангенса, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число). Например, $\alpha_1 + 2\pi k < x < \alpha_2 + 2\pi k$.
   • С помощью графика функции:
     1. Строится график функции $y = T(x)$ (например, $y = \cos(x)$).
     2. Проводится горизонтальная прямая $y = a$.
     3. Находятся интервалы по оси OX, на которых график функции лежит выше (для знака $>$ или $\ge$) или ниже (для знака $<$ или $\le$) прямой $y=a$.
     4. Определяются абсциссы точек пересечения, решая уравнение $T(x)=a$.
     5. Записывается решение на одном основном периоде, а затем оно обобщается путем добавления периода, умноженного на целое число $k$.
3. Запись общего решения. Если исходное неравенство было сведено к системе или совокупности простейших, то найденные на предыдущем шаге решения для каждого из них соответственно пересекают или объединяют, чтобы получить итоговый ответ.

Ответ: Решение тригонометрического неравенства проводится по схеме: 1) сведение исходного неравенства к одному или нескольким простейшим; 2) решение простейшего неравенства с помощью единичной окружности или графика функции; 3) запись общего решения с учётом периодичности и, при необходимости, объединение или пересечение полученных множеств решений.