Номер 34.7, страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.7. Решите уравнение:

1) $ \sqrt{\sin x \cos x} = 0; $

2) $ \sqrt{\operatorname{ctg} x - \sqrt{3}} \cos x = 0; $

3) $ \sqrt{\cos x} (8 \sin x + 5 - 2 \cos 2x) = 0. $

1) Решить уравнение $\sqrt{\sin x} \cos x = 0$.

Данное уравнение равносильно системе, в которой подкоренное выражение неотрицательно, и один из множителей равен нулю:

$\begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} \sqrt{\sin x} = 0 \\ \cos x = 0 \end{gathered} \right. \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} \sin x = 0 \\ \cos x = 0 \end{gathered} \right. \end{cases}$

Рассмотрим два случая из совокупности:

а) $\sin x = 0$. Решениями являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют условию $\sin x \ge 0$, так как $\sin(\pi n) = 0$. Следовательно, вся серия корней $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ является решением исходного уравнения.

б) $\cos x = 0$. Решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Теперь необходимо проверить условие $\sin x \ge 0$ для этих корней.

$\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$.

Неравенство $(-1)^k \ge 0$ выполняется только при четных значениях $k$. Положим $k = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Тогда подходящие решения из этой серии имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) Решить уравнение $\sqrt{\ctg x} - \sqrt{3} \cos x = 0$.

Перенесем второе слагаемое в правую часть: $\sqrt{\ctg x} = \sqrt{3} \cos x$.

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \ctg x = (\sqrt{3} \cos x)^2 \\ \cos x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{\cos x}{\sin x} = 3 \cos^2 x \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

Условие области определения $\ctg x \ge 0$ следует из первого уравнения системы ($\ctg x = 3\cos^2 x \ge 0$), поэтому его можно не добавлять отдельно. Решим уравнение системы:

$\frac{\cos x}{\sin x} - 3 \cos^2 x = 0$

$\cos x \left(\frac{1}{\sin x} - 3 \cos x\right) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

а) $\cos x = 0$. Это удовлетворяет условию $\cos x \ge 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{1}{\sin x} - 3 \cos x = 0 \implies 1 = 3 \sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

$1 = \frac{3}{2} (2 \sin x \cos x) \implies 1 = \frac{3}{2} \sin(2x) \implies \sin(2x) = \frac{2}{3}$.

Решения этого уравнения:

$2x = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi m \implies x = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

$2x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь отберем из этих серий те корни, для которых выполняется условие $\cos x \ge 0$.

Для серии $x = \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2}{3}) + \pi m$: $\cos x \ge 0$ при четных $m$. Полагая $m=2n$, получаем $x = \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для серии $x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2}{3}) + \pi m$: $\cos x \ge 0$ также при четных $m$. Полагая $m=2n$, получаем $x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решить уравнение $\sqrt{\cos x} (8\sin x + 5 - 2\cos(2x)) = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x \ge 0 \\ \left[ \begin{gathered} \sqrt{\cos x} = 0 \\ 8\sin x + 5 - 2\cos(2x) = 0 \end{gathered} \right. \end{cases}$

Рассмотрим два случая из совокупности:

а) $\sqrt{\cos x} = 0 \implies \cos x = 0$. Это удовлетворяет условию $\cos x \ge 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $8\sin x + 5 - 2\cos(2x) = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести уравнение к квадратному относительно $\sin x$:

$8\sin x + 5 - 2(1 - 2\sin^2 x) = 0$

$8\sin x + 5 - 2 + 4\sin^2 x = 0$

$4\sin^2 x + 8\sin x + 3 = 0$

Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 + 8t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни: $t_1 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = -3/2$ не подходит, так как $|-3/2| > 1$.

Возвращаемся к переменной $x$: $\sin x = -\frac{1}{2}$.

Решения этого уравнения:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Проверим для этих серий выполнение условия $\cos x \ge 0$.

Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: $\cos(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$. Эта серия является решением.

Для $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$: $\cos(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Эта серия не является решением.

Объединяя решения из случаев а) и б), получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.