Номер 34.4, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.4. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3-x} \cos \pi x = 0$;

2) $\sqrt{49-4x^2} \left( \sin \pi x + 3\cos \frac{\pi x}{2} \right) = 0.$

1) Решим уравнение $\sqrt{3-x} \cos(\pi x) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен).

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3 - x \ge 0$
$x \le 3$

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:
1. $\sqrt{3-x} = 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем $3-x = 0$, откуда $x = 3$. Этот корень удовлетворяет условию ОДЗ ($3 \le 3$).
2. $\cos(\pi x) = 0$. Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:
$\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k – любое целое число).
Разделив обе части на $\pi$, получаем:
$x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь нужно выбрать те корни из второй серии, которые удовлетворяют ОДЗ $x \le 3$:
$\frac{1}{2} + k \le 3$
$k \le 3 - \frac{1}{2}$
$k \le 2.5$
Поскольку $k$ – целое число, то $k$ может принимать значения $2, 1, 0, -1, ...$, то есть $k \le 2$.

Объединяем все найденные решения.
Ответ: $3; \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \le 2$.

2) Решим уравнение $\sqrt{49-4x^2} (\sin(\pi x) + 3\cos(\frac{\pi x}{2})) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$49 - 4x^2 \ge 0$
$4x^2 \le 49$
$x^2 \le \frac{49}{4}$
$-\frac{7}{2} \le x \le \frac{7}{2}$, или $-3.5 \le x \le 3.5$.

Рассмотрим два случая:
1. $\sqrt{49-4x^2} = 0$. Возводим в квадрат: $49-4x^2 = 0$, откуда $x^2 = \frac{49}{4}$, и $x = \pm\frac{7}{2} = \pm3.5$. Оба корня принадлежат ОДЗ.
2. $\sin(\pi x) + 3\cos(\frac{\pi x}{2}) = 0$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. В нашем случае $\sin(\pi x) = \sin(2 \cdot \frac{\pi x}{2}) = 2\sin(\frac{\pi x}{2})\cos(\frac{\pi x}{2})$.
Подставим в уравнение:
$2\sin(\frac{\pi x}{2})\cos(\frac{\pi x}{2}) + 3\cos(\frac{\pi x}{2}) = 0$
Вынесем общий множитель $\cos(\frac{\pi x}{2})$ за скобки:
$\cos(\frac{\pi x}{2}) (2\sin(\frac{\pi x}{2}) + 3) = 0$
Это уравнение распадается на два:
а) $\cos(\frac{\pi x}{2}) = 0$
$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = 1 + 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) $2\sin(\frac{\pi x}{2}) + 3 = 0$
$\sin(\frac{\pi x}{2}) = -1.5$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.

Теперь отберем корни серии $x = 1 + 2n$, которые принадлежат ОДЗ $-3.5 \le x \le 3.5$:
$-3.5 \le 1 + 2n \le 3.5$
$-3.5 - 1 \le 2n \le 3.5 - 1$
$-4.5 \le 2n \le 2.5$
$-2.25 \le n \le 1.25$
Так как $n$ – целое число, возможные значения для $n$: $-2, -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n=-2: x = 1+2(-2) = -3$.
При $n=-1: x = 1+2(-1) = -1$.
При $n=0: x = 1+2(0) = 1$.
При $n=1: x = 1+2(1) = 3$.

Собираем все найденные корни: $x = \pm3.5$ из первого случая и $x \in \{-3, -1, 1, 3\}$ из второго.
Ответ: $-3.5; -3; -1; 1; 3; 3.5$.