Номер 34.1, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.1. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = 0;$

2) $\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0;$

3) $\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0;$

4) $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2 \cos x.$

1) Решим уравнение $\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = 0$.
Данное уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} \sin 2x = 0, \\ 1 - \cos 2x \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$\sin 2x = 0$
$2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
Теперь проверим второе условие системы (область допустимых значений):
$1 - \cos 2x \neq 0$
$\cos 2x \neq 1$
$2x \neq 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Из найденных решений $x = \frac{\pi k}{2}$ нужно исключить те, которые имеют вид $x = \pi n$. Значения $x = \pi n$ получаются при четных значениях $k$ (т.е. $k = 2n$). Следовательно, в решении должны остаться только значения с нечетными $k$. Пусть $k = 2m + 1$, где $m \in \mathbb{Z}$. Тогда $x = \frac{\pi (2m + 1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0$.
Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} \sin^2 x + \sin x = 0, \\ 1 + \cos x \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение, вынеся $\sin x$ за скобки:
$\sin x (\sin x + 1) = 0$
Это уравнение распадается на два: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
Проверим найденные серии корней по условию $1 + \cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq -1$. Это условие означает, что $x \neq \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.
Для первой серии корней $x = \pi k$: Если $k$ — четное число ($k = 2m$), то $x = 2\pi m$. В этом случае $\cos(2\pi m) = 1 \neq -1$. Эти корни подходят. Если $k$ — нечетное число ($k = 2m + 1$), то $x = \pi(2m+1) = \pi + 2\pi m$. В этом случае $\cos(\pi + 2\pi m) = -1$. Эти корни не подходят, так как знаменатель обращается в ноль.
Для второй серии корней $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$: $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0 \neq -1$. Эти корни подходят.
Объединяем подходящие серии корней.
Ответ: $x = 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0$.
Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} 8 \sin x \cos x \sin 2x - 1 = 0, \\ \sqrt{3} + 2 \sin 4x \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. $8 \sin x \cos x = 4(2 \sin x \cos x) = 4 \sin 2x$. Уравнение принимает вид:
$4 \sin 2x \cdot \sin 2x - 1 = 0$
$4 \sin^2 2x = 1$
$\sin^2 2x = \frac{1}{4}$
Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$:
$\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1}{4}$
$1 - \cos 4x = \frac{1}{2}$
$\cos 4x = \frac{1}{2}$
Теперь рассмотрим ограничение $\sqrt{3} + 2 \sin 4x \neq 0 \implies \sin 4x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Если $\cos 4x = \frac{1}{2}$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 4x = 1 - \cos^2 4x = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$, откуда $\sin 4x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Нам нужно исключить случай, когда $\sin 4x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, мы ищем такие значения $x$, для которых одновременно выполняются $\cos 4x = \frac{1}{2}$ и $\sin 4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует случаю, когда угол $4x$ находится в первой координатной четверти.
Из $\cos 4x = \frac{1}{2}$ следует $4x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Условию $\sin 4x > 0$ удовлетворяет только серия $4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделим на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $1 + \sin x \neq 0$, откуда $\sin x \neq -1$. Это означает, что $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
На ОДЗ умножим обе части уравнения на знаменатель:
$\sin 2x = -2\cos x (1 + \sin x)$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x = -2\cos x - 2\cos x \sin x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2 \sin x \cos x + 2\cos x + 2\cos x \sin x = 0$
$4 \sin x \cos x + 2\cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:
$2\cos x (2\sin x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. 2) $2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($\sin x \neq -1$).
Для первой серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: - если $n$ четное, $n=2m$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$. Тогда $\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 1$. Это не противоречит ОДЗ. - если $n$ нечетное, $n=2m+1$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi(2m+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m = -\frac{\pi}{2} + 2\pi (m+1)$. Тогда $\sin x = -1$. Эти корни не входят в ОДЗ, их нужно исключить. Таким образом, из первой серии подходит только $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.
Для второй серии $\sin x = -\frac{1}{2}$: Это условие не противоречит ОДЗ ($\sin x \neq -1$). Корни уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем все подходящие решения.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.