Номер 33.32, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.32. При каких значениях параметра $a$ уравнение $a^2 \cos \pi x - a(1 + 8x^2) = 6$ имеет единственный корень?

Дано уравнение: $a^2 \cos \pi x - a(1 + 8x^2) = 6$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы представить уравнение в виде $f(x) = 0$:

$f(x) = a^2 \cos \pi x - a(1 + 8x^2) - 6$

Исследуем функцию $f(x)$ на четность. Область определения функции — все действительные числа. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = a^2 \cos(\pi(-x)) - a(1 + 8(-x)^2) - 6 = a^2 \cos(\pi x) - a(1 + 8x^2) - 6 = f(x)$

Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция $f(x)$ является четной. Если четная функция имеет корень $x_0 \ne 0$, то число $-x_0$ также является ее корнем, так как $f(-x_0) = f(x_0) = 0$. В этом случае уравнение будет иметь как минимум два корня. Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы этот корень был равен нулю, так как только для $x=0$ выполняется условие $x = -x$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти значения параметра $a$, при которых $x=0$ является корнем:

$a^2 \cos(\pi \cdot 0) - a(1 + 8 \cdot 0^2) = 6$

$a^2 \cdot 1 - a \cdot 1 = 6$

$a^2 - a - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Решим его, найдя корни:

$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$

Получаем два возможных значения для $a$:

$a_1 = \frac{1+5}{2} = 3$

$a_2 = \frac{1-5}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить, будет ли при каждом из этих значений $a$ корень $x=0$ единственным.

Случай 1: a = 3

Подставим $a=3$ в исходное уравнение:

$3^2 \cos(\pi x) - 3(1 + 8x^2) = 6$

$9 \cos(\pi x) - 3 - 24x^2 = 6$

$9 \cos(\pi x) = 9 + 24x^2$

Разделим обе части на 9:

$\cos(\pi x) = 1 + \frac{8}{3}x^2$

Проанализируем полученное уравнение. Значения функции косинус лежат в пределах от -1 до 1, поэтому левая часть уравнения $\cos(\pi x) \le 1$.

Правая часть уравнения $1 + \frac{8}{3}x^2 \ge 1$, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Равенство $\cos(\pi x) = 1 + \frac{8}{3}x^2$ возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \cos(\pi x) = 1 \\ 1 + \frac{8}{3}x^2 = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения системы следует, что $\frac{8}{3}x^2 = 0$, откуда $x=0$.

Подстановка $x=0$ в первое уравнение дает $\cos(0)=1$, что является верным равенством. Следовательно, система имеет единственное решение $x=0$.

Таким образом, при $a=3$ исходное уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Случай 2: a = -2

Подставим $a=-2$ в исходное уравнение:

$(-2)^2 \cos(\pi x) - (-2)(1 + 8x^2) = 6$

$4 \cos(\pi x) + 2(1 + 8x^2) = 6$

$4 \cos(\pi x) + 2 + 16x^2 = 6$

$4 \cos(\pi x) = 4 - 16x^2$

Разделим обе части на 4:

$\cos(\pi x) = 1 - 4x^2$

Мы уже знаем, что $x=0$ является корнем этого уравнения. Проверим наличие других корней. Например, подставим $x = 1/2$:

Левая часть: $\cos(\pi \cdot \frac{1}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Правая часть: $1 - 4(\frac{1}{2})^2 = 1 - 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 - 1 = 0$.

Поскольку $0=0$, $x=1/2$ также является корнем уравнения.

Так как функция четная, то $x=-1/2$ также является корнем, что подтверждается проверкой: $\cos(-\pi/2) = 0$ и $1 - 4(-1/2)^2 = 0$.

Следовательно, при $a=-2$ уравнение имеет как минимум три корня: $x=0, x=1/2, x=-1/2$. Значит, корень не является единственным.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором уравнение имеет единственный корень, это $a=3$.

Ответ: $a=3$.