Номер 33.25, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.25. Решите уравнение:

1) $\sin^5 x + \cos^5 x = 2 - \sin^4 x$;

2) $\sqrt{2 + \cos^2 2x} = \sin 3x - \cos 3x.$

1) $ \sin^5x + \cos^5x = 2 - \sin^4x $

Решение:

Данное уравнение решается методом оценки. Оценим левую и правую части уравнения.

Для левой части (ЛЧ): $ \sin^5x + \cos^5x $.

Поскольку для любого действительного $x$ выполняются неравенства $ |\sin x| \le 1 $ и $ |\cos x| \le 1 $, то $ \sin^5x \le \sin^2x $ и $ \cos^5x \le \cos^2x $. Сложив эти неравенства, получаем:

$ \sin^5x + \cos^5x \le \sin^2x + \cos^2x $

Так как основное тригонометрическое тождество гласит $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, то получаем, что ЛЧ $ \le 1 $.

Для правой части (ПЧ): $ 2 - \sin^4x $.

Мы знаем, что $ 0 \le \sin^2x \le 1 $, следовательно, $ 0 \le \sin^4x \le 1 $. Умножим это неравенство на -1, что приведет к изменению знаков неравенства:

$ -1 \le -\sin^4x \le 0 $

Прибавив 2 ко всем частям неравенства, получим:

$ 2 - 1 \le 2 - \sin^4x \le 2 - 0 $

$ 1 \le 2 - \sin^4x \le 2 $

Таким образом, ПЧ $ \ge 1 $.

Исходное уравнение $ \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} $ может выполняться только в том случае, когда обе части равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin^5x + \cos^5x = 1 \\ 2 - \sin^4x = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы, так как оно проще:

$ 2 - \sin^4x = 1 \implies \sin^4x = 1 $

Это уравнение равносильно совокупности $ \sin x = 1 $ или $ \sin x = -1 $.

Проверим оба случая, подставив их в первое уравнение системы $ \sin^5x + \cos^5x = 1 $.

Случай 1: $ \sin x = 1 $.

Если $ \sin x = 1 $, то $ \cos x = 0 $. Решениями этого уравнения являются $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Подстановка в первое уравнение: $ (1)^5 + (0)^5 = 1 $. Равенство $ 1 = 1 $ верное, следовательно, эти значения $x$ являются решениями.

Случай 2: $ \sin x = -1 $.

Если $ \sin x = -1 $, то $ \cos x = 0 $. Решениями этого уравнения являются $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Подстановка в первое уравнение: $ (-1)^5 + (0)^5 = -1 $. Равенство $ -1 = 1 $ неверное, следовательно, эти значения $x$ не являются решениями.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются решения из первого случая.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{2 + \cos^22x} = \sin3x - \cos3x $

Решение:

Применим метод оценки, как и в предыдущей задаче.

Оценим левую часть (ЛЧ): $ \sqrt{2 + \cos^22x} $.

Известно, что $ 0 \le \cos^22x \le 1 $. Прибавив 2, получаем:

$ 2 \le 2 + \cos^22x \le 3 $

Так как подкоренное выражение положительно, можно извлечь корень:

$ \sqrt{2} \le \sqrt{2 + \cos^22x} \le \sqrt{3} $

Итак, $ \text{ЛЧ} \ge \sqrt{2} $.

Оценим правую часть (ПЧ): $ \sin3x - \cos3x $.

Используем метод вспомогательного угла (R-формулу):

$ \sin3x - \cos3x = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin3x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos3x \right) $

$ = \sqrt{2}(\sin3x\cos\frac{\pi}{4} - \cos3x\sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(3x - \frac{\pi}{4}) $

Поскольку область значений функции синус $ [-1, 1] $, то:

$ -1 \le \sin(3x - \frac{\pi}{4}) \le 1 $

$ -\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(3x - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2} $

Итак, $ \text{ПЧ} \le \sqrt{2} $.

Из полученных оценок $ \text{ЛЧ} \ge \sqrt{2} $ и $ \text{ПЧ} \le \sqrt{2} $ следует, что равенство $ \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} $ возможно только тогда, когда обе части одновременно равны $ \sqrt{2} $.

Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2 + \cos^22x} = \sqrt{2} \\ \sin3x - \cos3x = \sqrt{2} \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \sqrt{2 + \cos^22x} = \sqrt{2} \implies 2 + \cos^22x = 2 \implies \cos^22x = 0 \implies \cos2x = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение системы:

$ \sin3x - \cos3x = \sqrt{2} \implies \sqrt{2}\sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \implies \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

Для нахождения решения исходного уравнения необходимо найти пересечение полученных серий решений. Приравняем выражения для $x$:

$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $

$ \frac{\pi k}{2} = \frac{2\pi n}{3} \implies \frac{k}{2} = \frac{2n}{3} \implies 3k = 4n $

Так как 3 и 4 — взаимно простые числа, равенство для целых $k$ и $n$ выполняется, если $k$ кратно 4, а $n$ кратно 3. Пусть $ k = 4m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Подставим это значение $k$ в первую серию решений:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (4m)}{2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Эта серия и является решением исходного уравнения.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.