Номер 33.22, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.22. Решите уравнение:

1) $\cos \frac{13x}{6} - \cos \frac{5x}{6} = 1;$

2) $\sin 2x + \cos \frac{8x}{3} = 2.$

1) $ \cos\frac{13x}{6}\cos\frac{5x}{6} = 1 $

Область значений функции косинус – отрезок $[-1, 1]$. Произведение двух чисел, каждое из которых по модулю не превосходит 1, равно 1 только в двух случаях:

1. Оба сомножителя равны 1.
2. Оба сомножителя равны -1.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Оба косинуса равны 1.

$ \begin{cases} \cos\frac{13x}{6} = 1 \\ \cos\frac{5x}{6} = 1 \end{cases} $

Решаем первое уравнение системы:

$ \frac{13x}{6} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{12\pi k}{13} $

Решаем второе уравнение системы:

$ \frac{5x}{6} = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{12\pi n}{5} $

Приравняем выражения для $x$, чтобы найти общие решения:

$ \frac{12\pi k}{13} = \frac{12\pi n}{5} $

$ \frac{k}{13} = \frac{n}{5} \implies 5k = 13n $

Так как 5 и 13 — взаимно простые числа, то $k$ должно быть кратно 13, а $n$ должно быть кратно 5. Пусть $k=13m$ и $n=5m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Подставим $k=13m$ в первое выражение для $x$:

$ x = \frac{12\pi(13m)}{13} = 12\pi m, m \in \mathbb{Z} $

Это решения вида $6\pi \cdot (2m)$, то есть кратные $6\pi$ с четным коэффициентом.

Случай 2: Оба косинуса равны -1.

$ \begin{cases} \cos\frac{13x}{6} = -1 \\ \cos\frac{5x}{6} = -1 \end{cases} $

Решаем первое уравнение системы:

$ \frac{13x}{6} = \pi + 2\pi k = \pi(2k+1), k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{6\pi(2k+1)}{13} $

Решаем второе уравнение системы:

$ \frac{5x}{6} = \pi + 2\pi n = \pi(2n+1), n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{6\pi(2n+1)}{5} $

Приравняем выражения для $x$:

$ \frac{6\pi(2k+1)}{13} = \frac{6\pi(2n+1)}{5} $

$ 5(2k+1) = 13(2n+1) $

Так как 5 и 13 — взаимно простые числа, то выражение $(2k+1)$ должно быть кратно 13, а $(2n+1)$ должно быть кратно 5. Пусть $2n+1 = 5j$ для некоторого целого $j$. Левая часть этого равенства, $(2n+1)$, является нечетным числом, следовательно, и правая, $5j$, должна быть нечетной. Это возможно, только если $j$ — нечетное число.

Подставим $2n+1 = 5j$ в выражение для $x$:

$ x = \frac{6\pi(2n+1)}{5} = \frac{6\pi(5j)}{5} = 6\pi j $

Поскольку $j$ — нечетное число, решения имеют вид $6\pi \cdot (\text{нечетное число})$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы получаем, что $x$ может быть произведением $6\pi$ на любое целое число (четное из случая 1 и нечетное из случая 2).

$ x = 6\pi m, m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $ \sin 2x + \cos\frac{8x}{3} = 2 $

Область значений функций синус и косинус – отрезок $[-1, 1]$.

$ -1 \le \sin 2x \le 1 $

$ -1 \le \cos\frac{8x}{3} \le 1 $

Сумма этих двух функций может быть равна 2 только в том случае, когда каждое слагаемое равно своему максимальному значению, то есть 1.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin 2x = 1 \\ \cos\frac{8x}{3} = 1 \end{cases} $

Решаем первое уравнение системы:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi(4k+1)}{4} $

Решаем второе уравнение системы:

$ \frac{8x}{3} = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{6\pi n}{8} = \frac{3\pi n}{4} $

Теперь найдем общие решения, приравняв выражения для $x$:

$ \frac{\pi(4k+1)}{4} = \frac{3\pi n}{4} $

$ 4k+1 = 3n $

$ 3n - 4k = 1 $

Это линейное диофантово уравнение. Подберем частное решение. Например, при $n=3$ получаем $3 \cdot 3 - 4k = 1 \implies 9 - 4k = 1 \implies 4k = 8 \implies k=2$.

Общее решение для $n$ можно записать как $n = 3 + 4m$, где $m \in \mathbb{Z}$ (поскольку коэффициент при $k$ равен -4).

Подставим это выражение для $n$ в формулу для $x$:

$ x = \frac{3\pi n}{4} = \frac{3\pi(3+4m)}{4} = \frac{9\pi + 12\pi m}{4} = \frac{9\pi}{4} + 3\pi m, m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = \frac{9\pi}{4} + 3\pi m, m \in \mathbb{Z}$.