Номер 33.17, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.17. Решите уравнение:

1) $\sin 7x - \sqrt{2} \cos 5x + \sqrt{3} \cos 7x - \sqrt{2} \sin 5x = 0;$

2) $2\sin 3x + \sin x - \cos 2x = \sqrt{3}(\sin 2x - \cos x);$

3) $\sqrt{3}(2 - \cos x) + 4\sin 2x = \sin x.$

1) $ \sin7x - \sqrt{2}\cos5x + \sqrt{3}\cos7x - \sqrt{2}\sin5x = 0 $
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми аргументами:
$ (\sin7x + \sqrt{3}\cos7x) - (\sqrt{2}\cos5x + \sqrt{2}\sin5x) = 0 $
$ (\sin7x + \sqrt{3}\cos7x) - \sqrt{2}(\cos5x + \sin5x) = 0 $
Применим метод вспомогательного угла (формула $ a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi) $):
Для первого выражения $ \sin7x + \sqrt{3}\cos7x $:
$ \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.
$ 2(\frac{1}{2}\sin7x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos7x) = 2(\sin7x\cos\frac{\pi}{3} + \cos7x\sin\frac{\pi}{3}) = 2\sin(7x + \frac{\pi}{3}) $.
Для второго выражения $ \sqrt{2}(\sin5x + \cos5x) $:
$ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.
$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin5x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos5x) = 2(\sin5x\cos\frac{\pi}{4} + \cos5x\sin\frac{\pi}{4}) = 2\sin(5x + \frac{\pi}{4}) $.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$ 2\sin(7x + \frac{\pi}{3}) - 2\sin(5x + \frac{\pi}{4}) = 0 $
$ \sin(7x + \frac{\pi}{3}) = \sin(5x + \frac{\pi}{4}) $
Это уравнение равносильно совокупности двух систем:
$ 7x + \frac{\pi}{3} = 5x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ 7x + \frac{\pi}{3} = \pi - (5x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
Решим первое уравнение:
$ 2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi $
$ 2x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi $
$ x = -\frac{\pi}{24} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
Решим второе уравнение:
$ 7x + \frac{\pi}{3} = \pi - 5x - \frac{\pi}{4} + 2k\pi $
$ 12x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi $
$ 12x = \frac{9\pi - 4\pi}{12} + 2k\pi $
$ 12x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi $
$ x = \frac{5\pi}{144} + \frac{k\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{24} + k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{144} + \frac{k\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}. $

2) $ 2\sin3x + \sin x - \cos2x = \sqrt{3}(\sin2x - \cos x) $
Перенесем и сгруппируем члены:
$ 2\sin3x + (\sin x + \sqrt{3}\cos x) = (\cos2x + \sqrt{3}\sin2x) $
Применим метод вспомогательного угла к выражениям в скобках.
$ \sin x + \sqrt{3}\cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2(\sin x\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\sin\frac{\pi}{3}) = 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) $.
$ \cos2x + \sqrt{3}\sin2x = 2(\frac{1}{2}\cos2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x) = 2(\sin\frac{\pi}{6}\cos2x + \cos\frac{\pi}{6}\sin2x) = 2\sin(2x+\frac{\pi}{6}) $.
Подставим в уравнение:
$ 2\sin3x + 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) = 2\sin(2x+\frac{\pi}{6}) $
$ \sin3x + \sin(x+\frac{\pi}{3}) = \sin(2x+\frac{\pi}{6}) $
Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к левой части:
$ 2\sin\frac{3x+x+\pi/3}{2}\cos\frac{3x-x-\pi/3}{2} = \sin(2x+\frac{\pi}{6}) $
$ 2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\cos(x-\frac{\pi}{6}) = \sin(2x+\frac{\pi}{6}) $
$ 2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\cos(x-\frac{\pi}{6}) - \sin(2x+\frac{\pi}{6}) = 0 $
$ \sin(2x+\frac{\pi}{6})(2\cos(x-\frac{\pi}{6}) - 1) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ \sin(2x+\frac{\pi}{6}) = 0 $
$ 2x+\frac{\pi}{6} = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 2x = n\pi - \frac{\pi}{6} $
$ x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{12}, \quad n \in \mathbb{Z} $
2) $ 2\cos(x-\frac{\pi}{6}) - 1 = 0 \implies \cos(x-\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $
$ x-\frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $
$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi $
Ответ: $ x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{12}, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad n, k \in \mathbb{Z}. $

3) $ \sqrt{3}(2 - \cos x) + 4\sin2x = \sin x $
Раскроем скобки и преобразуем $ \sin2x $:
$ 2\sqrt{3} - \sqrt{3}\cos x + 8\sin x \cos x = \sin x $
Перенесем члены, содержащие $ x $, в одну сторону:
$ \sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\sqrt{3} + 8\sin x \cos x $
Преобразуем левую часть по формуле вспомогательного угла, а правую — по формуле синуса двойного угла:
$ 2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2\sqrt{3} + 4(2\sin x \cos x) $
$ 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) = 2\sqrt{3} + 4\sin2x $
$ \sin(x+\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} + 2\sin2x $
$ \sin(x+\frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = 2\sin2x $
Сделаем замену $ y = x+\frac{\pi}{3} $, тогда $ x = y-\frac{\pi}{3} $ и $ 2x = 2y - \frac{2\pi}{3} $.
$ \sin y - \sqrt{3} = 2\sin(2y - \frac{2\pi}{3}) $
$ \sin y - \sqrt{3} = 2(\sin2y\cos\frac{2\pi}{3} - \cos2y\sin\frac{2\pi}{3}) $
$ \sin y - \sqrt{3} = 2(\sin2y(-\frac{1}{2}) - \cos2y(\frac{\sqrt{3}}{2})) $
$ \sin y - \sqrt{3} = -\sin2y - \sqrt{3}\cos2y $
$ \sin y + \sin2y + \sqrt{3}\cos2y - \sqrt{3} = 0 $
$ \sin y + 2\sin y\cos y + \sqrt{3}(2\cos^2y-1) - \sqrt{3} = 0 $
$ \sin y(1+2\cos y) + 2\sqrt{3}\cos^2y - 2\sqrt{3} = 0 $
$ \sin y(1+2\cos y) - 2\sqrt{3}(1-\cos^2y) = 0 $
$ \sin y(1+2\cos y) - 2\sqrt{3}\sin^2y = 0 $
$ \sin y(1+2\cos y - 2\sqrt{3}\sin y) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ \sin y = 0 $
$ y = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x+\frac{\pi}{3} = k\pi \implies x = k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $
2) $ 1+2\cos y - 2\sqrt{3}\sin y = 0 $
$ 2\sqrt{3}\sin y - 2\cos y = 1 $
Применим метод вспомогательного угла. $ R = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12+4}=4 $.
$ 4(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin y - \frac{1}{2}\cos y) = 1 $
$ 4(\sin y\cos\frac{\pi}{6} - \cos y\sin\frac{\pi}{6}) = 1 $
$ 4\sin(y-\frac{\pi}{6}) = 1 \implies \sin(y-\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{4} $
$ y-\frac{\pi}{6} = n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}), \quad n \in \mathbb{Z} $
$ y = \frac{\pi}{6} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) $
$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) $
$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) $
$ x = -\frac{\pi}{6} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}), \quad n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{6} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}), \quad k, n \in \mathbb{Z}. $