Номер 33.14, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.14. Решите уравнение $x^2 + 8x \sin(xy) + 16 = 0$.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$x^2 + (8 \sin(xy))x + 16 = 0$

Для того чтобы это уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант:

$D = (8 \sin(xy))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 \sin^2(xy) - 64 = 64(\sin^2(xy) - 1)$

Условие $D \ge 0$ приводит к неравенству:

$64(\sin^2(xy) - 1) \ge 0$

$\sin^2(xy) - 1 \ge 0$

$\sin^2(xy) \ge 1$

Поскольку область значений функции синуса есть отрезок $[-1, 1]$, то максимальное значение $\sin^2(xy)$ равно 1. Следовательно, неравенство $\sin^2(xy) \ge 1$ выполняется только в случае равенства:

$\sin^2(xy) = 1$

Это равенство возможно в двух случаях: $\sin(xy) = 1$ или $\sin(xy) = -1$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Случай, когда $\sin(xy) = 1$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$x^2 + 8x(1) + 16 = 0$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x+4)^2 = 0$

Отсюда получаем $x = -4$.

Теперь подставим найденное значение $x = -4$ в условие $\sin(xy) = 1$:

$\sin(-4y) = 1$

Так как $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:

$-\sin(4y) = 1$

$\sin(4y) = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является:

$4y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, одна серия решений: $(-4, -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Случай, когда $\sin(xy) = -1$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$x^2 + 8x(-1) + 16 = 0$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x-4)^2 = 0$

Отсюда получаем $x = 4$.

Теперь подставим найденное значение $x = 4$ в условие $\sin(xy) = -1$:

$\sin(4y) = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является:

$4y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$y = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Таким образом, вторая серия решений: $(4, -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2})$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный ответ.

Ответ: $(4, -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2})$, $(-4, -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.