Номер 33.10, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.10. Решите уравнение:

1) $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0,5;$

2) $\sin 5x \cos 3x = \sin 9x \cos 7x.$

Дано уравнение: $sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0,5$.

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

В нашем случае $\alpha = x + \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x + \frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{1}{2}\left(\sin\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) + \sin\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)\right) = 0,5$

Упростим выражения в аргументах синусов:

$\alpha + \beta = x + \frac{\pi}{3} + x + \frac{\pi}{6} = 2x + \frac{2\pi+\pi}{6} = 2x + \frac{3\pi}{6} = 2x + \frac{\pi}{2}$

$\alpha - \beta = x + \frac{\pi}{3} - x - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi-\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

Подставим упрощенные аргументы обратно в уравнение:

$\frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = 0,5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1$

Используем формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha$ и значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$:

$\cos(2x) + \frac{1}{2} = 1$

$\cos(2x) = 1 - \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Дано уравнение: $\sin(5x)\cos(3x) = \sin(9x)\cos(7x)$.

Применим формулу преобразования произведения в сумму $sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$ для обеих частей уравнения.

Для левой части: $\alpha=5x, \beta=3x$.

$\sin(5x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(2x))$

Для правой части: $\alpha=9x, \beta=7x$.

$\sin(9x)\cos(7x) = \frac{1}{2}(\sin(9x+7x) + \sin(9x-7x)) = \frac{1}{2}(\sin(16x) + \sin(2x))$

Приравниваем левую и правую части:

$\frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(2x)) = \frac{1}{2}(\sin(16x) + \sin(2x))$

Умножим обе части на 2 и вычтем $\sin(2x)$:

$\sin(8x) + \sin(2x) = \sin(16x) + \sin(2x)$

$\sin(8x) = \sin(16x)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$\sin(16x) - \sin(8x) = 0$

Теперь применим формулу преобразования разности синусов в произведение: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\cos\left(\frac{16x+8x}{2}\right)\sin\left(\frac{16x-8x}{2}\right) = 0$

$2\cos(12x)\sin(4x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(12x) = 0$

$12x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{12}, k \in Z$.

2) $\sin(4x) = 0$

$4x = \pi m$, где $m \in Z$.

$x = \frac{\pi m}{4}, m \in Z$.

Оба набора корней являются решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi m}{4}, m \in Z$; $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{12}, k \in Z$.