Страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.8. Решите уравнение:

1) $ \cos^2 x - \sin^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2}; $

2) $ \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin x; $

3) $ \cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x + \cos^2 4x; $

4) $ \sin 6x = 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right). $

Исходное уравнение: $ \cos^2 x - \sin^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2} $

Применим формулы понижения степени: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $ и $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.

$ \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1 - \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{1}{2} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1 + \cos 2x) - (1 - \cos 4x) + (1 + \cos 6x) = 1 $

$ 1 + \cos 2x - 1 + \cos 4x + 1 + \cos 6x = 1 $

$ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0 $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\cos 6x + \cos 2x) + \cos 4x = 0 $

$ 2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \cos 4x = 0 $

$ 2\cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos 4x $ за скобки:

$ \cos 4x (2\cos 2x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $ \cos 4x = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ 2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} $

$ 2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin x $

Преобразуем левую часть уравнения с помощью метода вспомогательного угла. Формула: $ a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\alpha + \varphi) $, где $ \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $.

В нашем случае $ a=1, b=1 $, поэтому $ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $. Угол $ \varphi $ определяется из условий $ \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} $, откуда $ \varphi = \frac{\pi}{4} $.

Тогда левая часть уравнения равна $ \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4}) $.

Уравнение принимает вид:

$ \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin x $

$ \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sin x $

Равенство синусов $ \sin A = \sin B $ выполняется в двух случаях:

1. $ A = B + 2\pi n $

$ 2x + \frac{\pi}{4} = x + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ A = \pi - B + 2\pi k $

$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pi - x + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ 3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x + \cos^2 4x $

Применим формулу понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $ ко всем членам уравнения:

$ \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} $

Умножим обе части на 2:

$ 1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x = 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x $

$ \cos 2x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 8x $

Перенесем члены уравнения и сгруппируем их:

$ (\cos 4x - \cos 8x) - (\cos 6x - \cos 2x) = 0 $

Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2\sin\frac{4x+8x}{2}\sin\frac{4x-8x}{2} - (-2\sin\frac{6x+2x}{2}\sin\frac{6x-2x}{2}) = 0 $

$ -2\sin 6x \sin(-2x) + 2\sin 4x \sin 2x = 0 $

Так как $ \sin(-2x) = -\sin 2x $, получаем:

$ 2\sin 6x \sin 2x + 2\sin 4x \sin 2x = 0 $

$ 2\sin 2x (\sin 6x + \sin 4x) = 0 $

Применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2\sin 2x (2\sin\frac{6x+4x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2}) = 0 $

$ 4\sin 2x \sin 5x \cos x = 0 $

Получаем три уравнения:

1. $ \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ \sin 5x = 0 \implies 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $

3. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $

Заметим, что решения третьего уравнения ($ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $) являются частным случаем решений первого уравнения ($ x = \frac{\pi n}{2} $ при нечетных $ n $). Таким образом, достаточно объединить первые две серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{\pi k}{5} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \sin 6x = 2\cos(\frac{3\pi}{2} + 2x) $

Применим формулу приведения для правой части: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha $.

$ \cos(\frac{3\pi}{2} + 2x) = \sin 2x $

Уравнение принимает вид:

$ \sin 6x = 2\sin 2x $

Используем формулу синуса тройного угла $ \sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha $. Пусть $ \alpha = 2x $:

$ \sin(3 \cdot 2x) = 3\sin 2x - 4\sin^3 2x $

Подставим это в уравнение:

$ 3\sin 2x - 4\sin^3 2x = 2\sin 2x $

$ \sin 2x - 4\sin^3 2x = 0 $

Вынесем $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (1 - 4\sin^2 2x) = 0 $

Получаем два уравнения:

1. $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ 1 - 4\sin^2 2x = 0 $

$ \sin^2 2x = \frac{1}{4} $

$ \sin 2x = \pm\frac{1}{2} $

Это равносильно совокупности:

$ 2x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

33.9. Решите уравнение:

1) $\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$;

2) $\sin 3x \cos 2x = \sin 5x$;

3) $2\cos(x + 20^\circ)\cos x = \cos 40^\circ$;

4) $\cos 3x \cos 6x = \cos 4x \cos 7x$.

1) Исходное уравнение: $cos3x + sinx \cdot sin2x = 0$.

Для преобразования произведения синусов используем формулу $sinx \cdot siny = \frac{1}{2}(cos(x-y) - cos(x+y))$.

Применим ее к члену $sinx \cdot sin2x$:

$sinx \cdot sin2x = \frac{1}{2}(cos(x-2x) - cos(x+2x)) = \frac{1}{2}(cos(-x) - cos(3x))$.

Поскольку косинус — четная функция, $cos(-x) = cosx$. Таким образом, выражение равно $\frac{1}{2}(cosx - cos3x)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$cos3x + \frac{1}{2}(cosx - cos3x) = 0$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2cos3x + cosx - cos3x = 0$

$cos3x + cosx = 0$

Теперь применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

$2cos(\frac{3x+x}{2})cos(\frac{3x-x}{2}) = 0$

$2cos(2x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1. $cosx = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $cos2x = 0$, откуда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin3x \cdot cos2x = sin5x$.

Применим к левой части формулу произведения синуса на косинус $sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$.

$sin3x \cdot cos2x = \frac{1}{2}(sin(3x+2x) + sin(3x-2x)) = \frac{1}{2}(sin5x + sinx)$.

Подставим полученное выражение в уравнение:

$\frac{1}{2}(sin5x + sinx) = sin5x$

$sin5x + sinx = 2sin5x$

$sinx = sin5x$

$sin5x - sinx = 0$

Применим формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$.

$2sin(\frac{5x-x}{2})cos(\frac{5x+x}{2}) = 0$

$2sin(2x)cos(3x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $sin2x = 0$, откуда $2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $cos3x = 0$, откуда $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $2cos(x + 20^\circ)cosx = cos40^\circ$.

Для преобразования левой части используем формулу $2cos\alpha \cdot cos\beta = cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta)$.

$2cos(x+20^\circ)cosx = cos((x+20^\circ)+x) + cos((x+20^\circ)-x) = cos(2x+20^\circ) + cos(20^\circ)$.

Уравнение принимает вид:

$cos(2x+20^\circ) + cos(20^\circ) = cos40^\circ$

$cos(2x+20^\circ) = cos40^\circ - cos20^\circ$

Преобразуем правую часть по формуле разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$cos40^\circ - cos20^\circ = -2sin(\frac{40^\circ+20^\circ}{2})sin(\frac{40^\circ-20^\circ}{2}) = -2sin(30^\circ)sin(10^\circ)$.

Поскольку $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, правая часть равна $-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot sin(10^\circ) = -sin(10^\circ)$.

Получаем уравнение $cos(2x+20^\circ) = -sin(10^\circ)$.

Используя формулу приведения $cos(90^\circ+\alpha) = -sin\alpha$, заменим $-sin(10^\circ)$ на $cos(90^\circ+10^\circ) = cos(100^\circ)$.

$cos(2x+20^\circ) = cos(100^\circ)$

Из равенства косинусов следует $2x+20^\circ = \pm 100^\circ + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. $2x+20^\circ = 100^\circ + 360^\circ n \implies 2x = 80^\circ + 360^\circ n \implies x = 40^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2x+20^\circ = -100^\circ + 360^\circ n \implies 2x = -120^\circ + 360^\circ n \implies x = -60^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 40^\circ + 180^\circ n, \quad x = -60^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos3x \cdot cos6x = cos4x \cdot cos7x$.

Применим формулу $cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta))$ к обеим частям уравнения.

Левая часть: $cos3x \cdot cos6x = \frac{1}{2}(cos(3x+6x) + cos(6x-3x)) = \frac{1}{2}(cos9x + cos3x)$.

Правая часть: $cos4x \cdot cos7x = \frac{1}{2}(cos(4x+7x) + cos(7x-4x)) = \frac{1}{2}(cos11x + cos3x)$.

Приравниваем преобразованные части и умножаем на 2:

$cos9x + cos3x = cos11x + cos3x$

$cos9x = cos11x$

$cos11x - cos9x = 0$

Применим формулу разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

$-2sin(\frac{11x+9x}{2})sin(\frac{11x-9x}{2}) = 0$

$-2sin(10x)sin(x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $sin(x) = 0$, откуда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $sin(10x) = 0$, откуда $10x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x = \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что первая серия решений ($x = \pi k$) является частным случаем второй серии при $n=10k$ ($x = \frac{\pi (10k)}{10} = \pi k$). Поэтому все решения можно описать одной, более общей, формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

33.10. Решите уравнение:

1) $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0,5;$

2) $\sin 5x \cos 3x = \sin 9x \cos 7x.$

Дано уравнение: $sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0,5$.

Для решения воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

В нашем случае $\alpha = x + \frac{\pi}{3}$ и $\beta = x + \frac{\pi}{6}$.

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{1}{2}\left(\sin\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right) + \sin\left(\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)\right) = 0,5$

Упростим выражения в аргументах синусов:

$\alpha + \beta = x + \frac{\pi}{3} + x + \frac{\pi}{6} = 2x + \frac{2\pi+\pi}{6} = 2x + \frac{3\pi}{6} = 2x + \frac{\pi}{2}$

$\alpha - \beta = x + \frac{\pi}{3} - x - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi-\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

Подставим упрощенные аргументы обратно в уравнение:

$\frac{1}{2}\left(\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = 0,5$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1$

Используем формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha$ и значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$:

$\cos(2x) + \frac{1}{2} = 1$

$\cos(2x) = 1 - \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Дано уравнение: $\sin(5x)\cos(3x) = \sin(9x)\cos(7x)$.

Применим формулу преобразования произведения в сумму $sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$ для обеих частей уравнения.

Для левой части: $\alpha=5x, \beta=3x$.

$\sin(5x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(2x))$

Для правой части: $\alpha=9x, \beta=7x$.

$\sin(9x)\cos(7x) = \frac{1}{2}(\sin(9x+7x) + \sin(9x-7x)) = \frac{1}{2}(\sin(16x) + \sin(2x))$

Приравниваем левую и правую части:

$\frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(2x)) = \frac{1}{2}(\sin(16x) + \sin(2x))$

Умножим обе части на 2 и вычтем $\sin(2x)$:

$\sin(8x) + \sin(2x) = \sin(16x) + \sin(2x)$

$\sin(8x) = \sin(16x)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$\sin(16x) - \sin(8x) = 0$

Теперь применим формулу преобразования разности синусов в произведение: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\cos\left(\frac{16x+8x}{2}\right)\sin\left(\frac{16x-8x}{2}\right) = 0$

$2\cos(12x)\sin(4x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\cos(12x) = 0$

$12x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{12}, k \in Z$.

2) $\sin(4x) = 0$

$4x = \pi m$, где $m \in Z$.

$x = \frac{\pi m}{4}, m \in Z$.

Оба набора корней являются решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi m}{4}, m \in Z$; $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{12}, k \in Z$.

33.11. Решите уравнение:

1) $2\cos\frac{x^2+2x}{6} = x^2+4x+6$;

2) $3\cos x + 4\sin x = x^2-6x+14$.

1) $2\cos\frac{x^2+2x}{6} = x^2+4x+6$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Оценим левую и правую части уравнения.

Левая часть: $2\cos\frac{x^2+2x}{6}$

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого аргумента $\alpha$ выполняется неравенство $-1 \le \cos\alpha \le 1$.

Применительно к нашему случаю:

$-1 \le \cos\frac{x^2+2x}{6} \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos\frac{x^2+2x}{6} \le 2$

Таким образом, наибольшее значение, которое может принимать левая часть уравнения, равно 2.

Правая часть: $x^2+4x+6$

Правая часть представляет собой квадратичную функцию $y(x) = x^2+4x+6$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

$x_0 = -\frac{4}{2\cdot1} = -2$

Найдем ординату вершины (наименьшее значение функции), подставив $x_0 = -2$ в выражение:

$y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2$

Таким образом, наименьшее значение, которое может принимать правая часть уравнения, равно 2. То есть, $x^2+4x+6 \ge 2$.

Вывод

Мы получили, что левая часть уравнения не превышает 2 ($LHS \le 2$), а правая часть не меньше 2 ($RHS \ge 2$). Равенство между ними возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 2.

Это приводит нас к системе уравнений:

$\begin{cases} 2\cos\frac{x^2+2x}{6} = 2 \\ x^2+4x+6 = 2 \end{cases}$

Решим второе уравнение, так как оно проще:

$x^2+4x+6 = 2$

$x^2+4x+4 = 0$

$(x+2)^2 = 0$

Отсюда получаем единственное решение $x = -2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли это значение первому уравнению системы. Подставим $x=-2$ в первое уравнение:

$2\cos\frac{(-2)^2+2(-2)}{6} = 2$

$\cos\frac{4-4}{6} = 1$

$\cos\frac{0}{6} = 1$

$\cos(0) = 1$

$1=1$

Равенство верное. Следовательно, $x=-2$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $-2$.

2) $3\cos x + 4\sin x = x^2 - 6x + 14$

Так же, как и в предыдущем задании, применим метод оценки левой и правой частей уравнения.

Левая часть: $3\cos x + 4\sin x$

Выражение вида $a\cos x + b\sin x$ можно преобразовать с помощью введения вспомогательного угла. Максимальное и минимальное значения такого выражения равны $\sqrt{a^2+b^2}$ и $-\sqrt{a^2+b^2}$ соответственно.

В нашем случае $a=3$ и $b=4$.

$\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

Следовательно, область значений левой части уравнения — отрезок $[-5, 5]$.

$-5 \le 3\cos x + 4\sin x \le 5$

Наибольшее значение левой части равно 5.

Правая часть: $x^2 - 6x + 14$

Правая часть — это квадратичная функция $y(x) = x^2 - 6x + 14$. График — парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), поэтому она имеет наименьшее значение в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2\cdot1} = 3$

Найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = 3$:

$y_0 = 3^2 - 6(3) + 14 = 9 - 18 + 14 = 5$

Следовательно, наименьшее значение правой части равно 5. То есть, $x^2 - 6x + 14 \ge 5$.

Вывод

Мы установили, что левая часть уравнения не превышает 5 ($LHS \le 5$), а правая часть не меньше 5 ($RHS \ge 5$). Равенство может быть достигнуто только тогда, когда обе части уравнения равны 5.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 3\cos x + 4\sin x = 5 \\ x^2 - 6x + 14 = 5 \end{cases}$

Решим второе уравнение:

$x^2 - 6x + 14 = 5$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

Единственное решение этого уравнения: $x = 3$.

Теперь проверим, является ли $x=3$ решением первого уравнения системы. Подставим это значение в первое уравнение:

$3\cos 3 + 4\sin 3 = 5$

Разделим обе части на 5:

$\frac{3}{5}\cos 3 + \frac{4}{5}\sin 3 = 1$

Это равенство имеет вид $\cos\alpha\cos x + \sin\alpha\sin x = 1$, или $\cos(x-\alpha)=1$, где $\cos\alpha=3/5$ и $\sin\alpha=4/5$.

Поскольку $\cos\alpha > 0$ и $\sin\alpha > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \pi/2$).

Рассмотрим значение $x=3$. Так как $\pi/2 \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, то угол в 3 радиана находится во второй четверти. Во второй четверти косинус отрицателен ($\cos 3 < 0$), а синус положителен ($\sin 3 > 0$).

Для выполнения условия $\cos x = 3/5$ и $\sin x = 4/5$ угол $x$ должен находиться в первой четверти. Так как $x=3$ находится во второй четверти, это значение не может удовлетворять первому уравнению.

Таким образом, значение $x=3$, которое обращает правую часть уравнения в 5, не обращает левую часть в 5. Система не имеет решений, а значит, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

33.12. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{\pi x}{4} = x^2 - 4x + 5;$

2) $\frac{2}{\sin x + \cos x} = \sqrt{2-x^2}$.

1) $ \sin\frac{\pi x}{4} = x^2 - 4x + 5 $

Данное уравнение содержит тригонометрическую функцию в левой части и квадратичную функцию в правой. Решим его методом оценки областей значений левой и правой частей уравнения.

1. Оценим область значений левой части уравнения: $ f(x) = \sin\frac{\pi x}{4} $.
Функция синус принимает значения в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, для любого действительного $x$:
$ -1 \le \sin\frac{\pi x}{4} \le 1 $.

2. Оценим область значений правой части уравнения: $ g(x) = x^2 - 4x + 5 $.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине параболы. Выделим полный квадрат, чтобы найти вершину:
$ x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1 $.
Поскольку $ (x - 2)^2 \ge 0 $ для любого $x$, то наименьшее значение правой части равно $ 0 + 1 = 1 $. Таким образом:
$ x^2 - 4x + 5 \ge 1 $.

3. Сопоставим полученные оценки.
Левая часть уравнения не превышает 1 ($ \sin\frac{\pi x}{4} \le 1 $), а правая часть не меньше 1 ($ x^2 - 4x + 5 \ge 1 $).
Равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений: $ \begin{cases} \sin\frac{\pi x}{4} = 1 \\ x^2 - 4x + 5 = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$ x^2 - 4x + 5 = 1 $
$ x^2 - 4x + 4 = 0 $
$ (x - 2)^2 = 0 $
$ x = 2 $.

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение $ x = 2 $ первому уравнению системы:
$ \sin\frac{\pi \cdot 2}{4} = \sin\frac{\pi}{2} = 1 $.
Уравнение выполняется. Следовательно, $ x = 2 $ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $2$.

2) $ \frac{2}{\sin x + \cos x} = \sqrt{2 - x^2} $

Для решения этого уравнения найдем область допустимых значений (ОДЗ) и воспользуемся методом оценки.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):
а) Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$ 2 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 2 \implies -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} $.
б) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$ \sin x + \cos x \ne 0 $. Используя метод вспомогательного угла, преобразуем знаменатель: $ \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) $.
Тогда $ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \ne 0 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) \ne 0 \implies x + \frac{\pi}{4} \ne \pi k \implies x \ne -\frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Учитывая ОДЗ по $x$ ($-\sqrt{2} \approx -1.414$, $\sqrt{2} \approx 1.414$), единственным ограничением из этого условия, попадающим в интервал $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $, является $ x \ne -\frac{\pi}{4} $ (при $ k=0 $).

2. Оценим области значений левой и правой частей уравнения.
Правая часть (ПЧ): $ g(x) = \sqrt{2 - x^2} $.
Поскольку $ 0 \le x^2 \le 2 $, то $ 0 \le 2 - x^2 \le 2 $.
Следовательно, $ 0 \le \sqrt{2 - x^2} \le \sqrt{2} $. Итак, $ 0 \le \text{ПЧ} \le \sqrt{2} $.

Левая часть (ЛЧ): $ f(x) = \frac{2}{\sin x + \cos x} = \frac{2}{\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(x + \frac{\pi}{4})} $.
Так как правая часть уравнения неотрицательна ($ \sqrt{2-x^2} \ge 0 $), левая часть также должна быть неотрицательной. Это означает, что $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) > 0 $.
Максимальное значение $ \sin(x + \frac{\pi}{4}) $ равно 1. Таким образом, $ 0 < \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1 $.
Тогда для левой части получаем оценку: $ \text{ЛЧ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin(x + \frac{\pi}{4})} \ge \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} $.

3. Сопоставим полученные оценки.
Мы имеем: $ \text{ЛЧ} \ge \sqrt{2} $ и $ \text{ПЧ} \le \sqrt{2} $.
Равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны $ \sqrt{2} $. Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} \frac{2}{\sin x + \cos x} = \sqrt{2} \\ \sqrt{2 - x^2} = \sqrt{2} \end{cases} $

Решим второе уравнение системы:
$ \sqrt{2 - x^2} = \sqrt{2} $
$ 2 - x^2 = 2 $
$ x^2 = 0 $
$ x = 0 $.

Проверим, удовлетворяет ли $ x = 0 $ первому уравнению системы:
$ \frac{2}{\sin 0 + \cos 0} = \frac{2}{0 + 1} = 2 $.
Получаем $ 2 = \sqrt{2} $, что является ложным равенством.
Поскольку единственное значение $x$, при котором правая часть равна $ \sqrt{2} $, не удовлетворяет условию для левой части, система не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

33.13. Решите уравнение $4y^2 - 4y \cos x + 1 = 0$.

Данное уравнение $4y^2 - 4y\cos x + 1 = 0$ можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной $y$. Для его решения воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Перепишем левую часть уравнения, чтобы выделить полный квадрат. Выражение $4y^2 - 4y\cos x$ является первыми двумя членами квадрата разности $(2y - \cos x)^2 = 4y^2 - 4y\cos x + \cos^2 x$.
Добавим и вычтем $\cos^2 x$ в левой части уравнения:
$(4y^2 - 4y\cos x + \cos^2 x) - \cos^2 x + 1 = 0$
Теперь свернем полный квадрат и сгруппируем оставшиеся члены:
$(2y - \cos x)^2 + (1 - \cos^2 x) = 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$, мы можем переписать уравнение в виде:
$(2y - \cos x)^2 + \sin^2 x = 0$

Это уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому $(2y - \cos x)^2 \ge 0$ и $\sin^2 x \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$.
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases}(2y - \cos x)^2 = 0 \\\sin^2 x = 0\end{cases}$

Решим эту систему.
Из второго уравнения $\sin^2 x = 0$ следует, что $\sin x = 0$.
Решениями этого уравнения являются $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Из первого уравнения $(2y - \cos x)^2 = 0$ следует, что $2y - \cos x = 0$, откуда $y = \frac{\cos x}{2}$.

Теперь подставим найденные значения $x$ в выражение для $y$:
$y = \frac{\cos(\pi n)}{2}$
Значение $\cos(\pi n)$ равно $1$, если $n$ четное, и $-1$, если $n$ нечетное. Это можно записать как $\cos(\pi n) = (-1)^n$.
Следовательно, $y = \frac{(-1)^n}{2}$.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются пары чисел $(x, y)$, где $x = \pi n$ и $y = \frac{(-1)^n}{2}$ для любого целого $n$.

Ответ: $(\pi n; \frac{(-1)^n}{2})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

33.14. Решите уравнение $x^2 + 8x \sin(xy) + 16 = 0$.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$x^2 + (8 \sin(xy))x + 16 = 0$

Для того чтобы это уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант:

$D = (8 \sin(xy))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64 \sin^2(xy) - 64 = 64(\sin^2(xy) - 1)$

Условие $D \ge 0$ приводит к неравенству:

$64(\sin^2(xy) - 1) \ge 0$

$\sin^2(xy) - 1 \ge 0$

$\sin^2(xy) \ge 1$

Поскольку область значений функции синуса есть отрезок $[-1, 1]$, то максимальное значение $\sin^2(xy)$ равно 1. Следовательно, неравенство $\sin^2(xy) \ge 1$ выполняется только в случае равенства:

$\sin^2(xy) = 1$

Это равенство возможно в двух случаях: $\sin(xy) = 1$ или $\sin(xy) = -1$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Случай, когда $\sin(xy) = 1$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$x^2 + 8x(1) + 16 = 0$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x+4)^2 = 0$

Отсюда получаем $x = -4$.

Теперь подставим найденное значение $x = -4$ в условие $\sin(xy) = 1$:

$\sin(-4y) = 1$

Так как $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:

$-\sin(4y) = 1$

$\sin(4y) = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является:

$4y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$y = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, одна серия решений: $(-4, -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Случай, когда $\sin(xy) = -1$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$x^2 + 8x(-1) + 16 = 0$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x-4)^2 = 0$

Отсюда получаем $x = 4$.

Теперь подставим найденное значение $x = 4$ в условие $\sin(xy) = -1$:

$\sin(4y) = -1$

Решением этого тригонометрического уравнения является:

$4y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$y = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Таким образом, вторая серия решений: $(4, -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2})$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный ответ.

Ответ: $(4, -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2})$, $(-4, -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

33.15. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ \cos x + \cos y = \frac{3}{2}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = \frac{5}{6}\pi, \\ \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4}, \\ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{4}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ \cos x + \cos y = \frac{3}{2} \end{cases}$

Для решения используем формулу суммы косинусов для второго уравнения: $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$.

Применив ее, получаем:

$2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$

Из первого уравнения системы известно, что $x - y = \frac{\pi}{3}$, а значит $\frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{\pi}{6} = \frac{3}{2}$

Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, уравнение принимает вид:

$2 \cos\frac{x+y}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

$\sqrt{3} \cos\frac{x+y}{2} = \frac{3}{2}$

$\cos\frac{x+y}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда следует, что:

$\frac{x+y}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x+y = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Теперь мы имеем две системы линейных уравнений для $x$ и $y$.

Случай 1:

$\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ x + y = \frac{\pi}{3} + 4\pi n \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y = 4\pi n$, откуда $y = 2\pi n$.

Случай 2:

$\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ x + y = -\frac{\pi}{3} + 4\pi n \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = 4\pi n$, откуда $x = 2\pi n$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, откуда $y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi n)$, $(2\pi n, -\frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4} \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(2y)}{2} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos(2x) + 1 + \cos(2y) = \frac{1}{2}$

$2 + \cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) + \cos(2y) = -\frac{3}{2}$

Теперь применим формулу суммы косинусов: $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$.

$2 \cos\frac{2x+2y}{2} \cos\frac{2x-2y}{2} = -\frac{3}{2}$

$2 \cos(x+y) \cos(x-y) = -\frac{3}{2}$

Из первого уравнения системы известно, что $x+y = \frac{5\pi}{6}$. Подставляем это значение:

$2 \cos(\frac{5\pi}{6}) \cos(x-y) = -\frac{3}{2}$

Так как $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cos(x-y) = -\frac{3}{2}$

$-\sqrt{3} \cos(x-y) = -\frac{3}{2}$

$\cos(x-y) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда $x-y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1:

$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y = \frac{4\pi}{6} - 2\pi n = \frac{2\pi}{3} - 2\pi n$, откуда $y = \frac{\pi}{3} - \pi n$.

Случай 2:

$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y = \frac{6\pi}{6} - 2\pi n = \pi - 2\pi n$, откуда $y = \frac{\pi}{2} - \pi n$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{3} - \pi n)$, $(\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{2} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{cases}$

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Сложим уравнения данной системы:

$\cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда $\cos(x-y) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычтем первое уравнение системы из второго:

$\cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$

Отсюда $\cos(x+y) = 0$.

Получаем новую систему:

$\begin{cases} \cos(x+y) = 0 \\ \cos(x-y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Из этой системы находим выражения для суммы и разности $x$ и $y$:

$x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x-y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1:

$\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x-y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi n + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi n + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n - 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi n - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$.

Случай 2:

$\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x-y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi n + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi n - 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi n - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k)$, $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

33.16. Решите систему уравнений:

1)

2)

3)

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y - x = 60^\circ, \\ \cos x + \cos y = 1,5; \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x + 60^\circ$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\cos x + \cos(x + 60^\circ) = 1,5$

Воспользуемся формулой суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$:

$2 \cos \frac{x + x + 60^\circ}{2} \cos \frac{x - (x + 60^\circ)}{2} = 1,5$

$2 \cos(x + 30^\circ) \cos(-30^\circ) = 1,5$

Так как $\cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cos(x + 30^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1,5$

$\sqrt{3} \cos(x + 30^\circ) = 1,5$

$\cos(x + 30^\circ) = \frac{1,5}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда следует, что $x + 30^\circ = \pm 30^\circ + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $x + 30^\circ = 30^\circ + 360^\circ n$

$x = 360^\circ n$

Тогда $y = x + 60^\circ = 360^\circ n + 60^\circ$.

2) $x + 30^\circ = -30^\circ + 360^\circ n$

$x = -60^\circ + 360^\circ n$

Тогда $y = x + 60^\circ = -60^\circ + 360^\circ n + 60^\circ = 360^\circ n$.

Таким образом, система имеет две серии решений.

Ответ: $(360^\circ n, 60^\circ + 360^\circ n)$, $(-60^\circ + 360^\circ n, 360^\circ n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1; \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{\pi}{4} - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\sin^2 x + \sin^2(\frac{\pi}{4} - x) = 1$

Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} - x))}{2} = 1$

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 2x)}{2} = 1$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos(2x) + 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 2$

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:

$2 - \cos(2x) - \sin(2x) = 2$

$\cos(2x) + \sin(2x) = 0$

Разделим обе части на $\cos(2x)$ (что возможно, так как если $\cos(2x)=0$, то и $\sin(2x)=0$, а это невозможно одновременно):

$1 + \tan(2x) = 0 \Rightarrow \tan(2x) = -1$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$

Теперь найдем $y$ из уравнения $y = \frac{\pi}{4} - x$:

$y = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}) = \frac{2\pi}{8} + \frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2} = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: $(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi k}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sin x \cos y = -0,5, \\ \cos x \sin y = 0,5. \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y = -0,5 + 0,5$

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x+y) = 0$

Отсюда $x+y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем второе уравнение из первого:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = -0,5 - 0,5$

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x-y) = -1$

Отсюда $x-y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Мы получили новую систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\begin{cases} x + y = \pi n, \\ x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k. \end{cases}$

Сложим уравнения этой системы:

$2x = \pi n - \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$

Вычтем второе уравнение из первого:

$2y = \pi n - (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) \Rightarrow 2y = \pi n + \frac{\pi}{2} - 2\pi k \Rightarrow y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$

Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} - \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

33.17. Решите уравнение:

1) $\sin 7x - \sqrt{2} \cos 5x + \sqrt{3} \cos 7x - \sqrt{2} \sin 5x = 0;$

2) $2\sin 3x + \sin x - \cos 2x = \sqrt{3}(\sin 2x - \cos x);$

3) $\sqrt{3}(2 - \cos x) + 4\sin 2x = \sin x.$

1) $ \sin7x - \sqrt{2}\cos5x + \sqrt{3}\cos7x - \sqrt{2}\sin5x = 0 $
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми аргументами:
$ (\sin7x + \sqrt{3}\cos7x) - (\sqrt{2}\cos5x + \sqrt{2}\sin5x) = 0 $
$ (\sin7x + \sqrt{3}\cos7x) - \sqrt{2}(\cos5x + \sin5x) = 0 $
Применим метод вспомогательного угла (формула $ a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi) $):
Для первого выражения $ \sin7x + \sqrt{3}\cos7x $:
$ \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $.
$ 2(\frac{1}{2}\sin7x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos7x) = 2(\sin7x\cos\frac{\pi}{3} + \cos7x\sin\frac{\pi}{3}) = 2\sin(7x + \frac{\pi}{3}) $.
Для второго выражения $ \sqrt{2}(\sin5x + \cos5x) $:
$ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.
$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin5x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos5x) = 2(\sin5x\cos\frac{\pi}{4} + \cos5x\sin\frac{\pi}{4}) = 2\sin(5x + \frac{\pi}{4}) $.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$ 2\sin(7x + \frac{\pi}{3}) - 2\sin(5x + \frac{\pi}{4}) = 0 $
$ \sin(7x + \frac{\pi}{3}) = \sin(5x + \frac{\pi}{4}) $
Это уравнение равносильно совокупности двух систем:
$ 7x + \frac{\pi}{3} = 5x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ 7x + \frac{\pi}{3} = \pi - (5x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
Решим первое уравнение:
$ 2x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi $
$ 2x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi $
$ x = -\frac{\pi}{24} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
Решим второе уравнение:
$ 7x + \frac{\pi}{3} = \pi - 5x - \frac{\pi}{4} + 2k\pi $
$ 12x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi $
$ 12x = \frac{9\pi - 4\pi}{12} + 2k\pi $
$ 12x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi $
$ x = \frac{5\pi}{144} + \frac{k\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{24} + k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{144} + \frac{k\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}. $

2) $ 2\sin3x + \sin x - \cos2x = \sqrt{3}(\sin2x - \cos x) $
Перенесем и сгруппируем члены:
$ 2\sin3x + (\sin x + \sqrt{3}\cos x) = (\cos2x + \sqrt{3}\sin2x) $
Применим метод вспомогательного угла к выражениям в скобках.
$ \sin x + \sqrt{3}\cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2(\sin x\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\sin\frac{\pi}{3}) = 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) $.
$ \cos2x + \sqrt{3}\sin2x = 2(\frac{1}{2}\cos2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x) = 2(\sin\frac{\pi}{6}\cos2x + \cos\frac{\pi}{6}\sin2x) = 2\sin(2x+\frac{\pi}{6}) $.
Подставим в уравнение:
$ 2\sin3x + 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) = 2\sin(2x+\frac{\pi}{6}) $
$ \sin3x + \sin(x+\frac{\pi}{3}) = \sin(2x+\frac{\pi}{6}) $
Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к левой части:
$ 2\sin\frac{3x+x+\pi/3}{2}\cos\frac{3x-x-\pi/3}{2} = \sin(2x+\frac{\pi}{6}) $
$ 2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\cos(x-\frac{\pi}{6}) = \sin(2x+\frac{\pi}{6}) $
$ 2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\cos(x-\frac{\pi}{6}) - \sin(2x+\frac{\pi}{6}) = 0 $
$ \sin(2x+\frac{\pi}{6})(2\cos(x-\frac{\pi}{6}) - 1) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ \sin(2x+\frac{\pi}{6}) = 0 $
$ 2x+\frac{\pi}{6} = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 2x = n\pi - \frac{\pi}{6} $
$ x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{12}, \quad n \in \mathbb{Z} $
2) $ 2\cos(x-\frac{\pi}{6}) - 1 = 0 \implies \cos(x-\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $
$ x-\frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $
$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi $
Ответ: $ x = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{12}, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad n, k \in \mathbb{Z}. $

3) $ \sqrt{3}(2 - \cos x) + 4\sin2x = \sin x $
Раскроем скобки и преобразуем $ \sin2x $:
$ 2\sqrt{3} - \sqrt{3}\cos x + 8\sin x \cos x = \sin x $
Перенесем члены, содержащие $ x $, в одну сторону:
$ \sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\sqrt{3} + 8\sin x \cos x $
Преобразуем левую часть по формуле вспомогательного угла, а правую — по формуле синуса двойного угла:
$ 2(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2\sqrt{3} + 4(2\sin x \cos x) $
$ 2\sin(x+\frac{\pi}{3}) = 2\sqrt{3} + 4\sin2x $
$ \sin(x+\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} + 2\sin2x $
$ \sin(x+\frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = 2\sin2x $
Сделаем замену $ y = x+\frac{\pi}{3} $, тогда $ x = y-\frac{\pi}{3} $ и $ 2x = 2y - \frac{2\pi}{3} $.
$ \sin y - \sqrt{3} = 2\sin(2y - \frac{2\pi}{3}) $
$ \sin y - \sqrt{3} = 2(\sin2y\cos\frac{2\pi}{3} - \cos2y\sin\frac{2\pi}{3}) $
$ \sin y - \sqrt{3} = 2(\sin2y(-\frac{1}{2}) - \cos2y(\frac{\sqrt{3}}{2})) $
$ \sin y - \sqrt{3} = -\sin2y - \sqrt{3}\cos2y $
$ \sin y + \sin2y + \sqrt{3}\cos2y - \sqrt{3} = 0 $
$ \sin y + 2\sin y\cos y + \sqrt{3}(2\cos^2y-1) - \sqrt{3} = 0 $
$ \sin y(1+2\cos y) + 2\sqrt{3}\cos^2y - 2\sqrt{3} = 0 $
$ \sin y(1+2\cos y) - 2\sqrt{3}(1-\cos^2y) = 0 $
$ \sin y(1+2\cos y) - 2\sqrt{3}\sin^2y = 0 $
$ \sin y(1+2\cos y - 2\sqrt{3}\sin y) = 0 $
Получаем два случая:
1) $ \sin y = 0 $
$ y = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x+\frac{\pi}{3} = k\pi \implies x = k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $
2) $ 1+2\cos y - 2\sqrt{3}\sin y = 0 $
$ 2\sqrt{3}\sin y - 2\cos y = 1 $
Применим метод вспомогательного угла. $ R = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12+4}=4 $.
$ 4(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin y - \frac{1}{2}\cos y) = 1 $
$ 4(\sin y\cos\frac{\pi}{6} - \cos y\sin\frac{\pi}{6}) = 1 $
$ 4\sin(y-\frac{\pi}{6}) = 1 \implies \sin(y-\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{4} $
$ y-\frac{\pi}{6} = n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}), \quad n \in \mathbb{Z} $
$ y = \frac{\pi}{6} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) $
$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) $
$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) $
$ x = -\frac{\pi}{6} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}), \quad n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = k\pi - \frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{6} + n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}), \quad k, n \in \mathbb{Z}. $