Номер 33.8, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.8. Решите уравнение:

1) $ \cos^2 x - \sin^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2}; $

2) $ \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin x; $

3) $ \cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x + \cos^2 4x; $

4) $ \sin 6x = 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right). $

Исходное уравнение: $ \cos^2 x - \sin^2 2x + \cos^2 3x = \frac{1}{2} $

Применим формулы понижения степени: $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $ и $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $.

$ \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1 - \cos 4x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} = \frac{1}{2} $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ (1 + \cos 2x) - (1 - \cos 4x) + (1 + \cos 6x) = 1 $

$ 1 + \cos 2x - 1 + \cos 4x + 1 + \cos 6x = 1 $

$ \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 0 $

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\cos 6x + \cos 2x) + \cos 4x = 0 $

$ 2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \cos 4x = 0 $

$ 2\cos 4x \cos 2x + \cos 4x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos 4x $ за скобки:

$ \cos 4x (2\cos 2x + 1) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1. $ \cos 4x = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ 2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} $

$ 2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin x $

Преобразуем левую часть уравнения с помощью метода вспомогательного угла. Формула: $ a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\alpha + \varphi) $, где $ \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $.

В нашем случае $ a=1, b=1 $, поэтому $ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $. Угол $ \varphi $ определяется из условий $ \cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} $, откуда $ \varphi = \frac{\pi}{4} $.

Тогда левая часть уравнения равна $ \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4}) $.

Уравнение принимает вид:

$ \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin x $

$ \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = \sin x $

Равенство синусов $ \sin A = \sin B $ выполняется в двух случаях:

1. $ A = B + 2\pi n $

$ 2x + \frac{\pi}{4} = x + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ A = \pi - B + 2\pi k $

$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pi - x + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ 3x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x + \cos^2 4x $

Применим формулу понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} $ ко всем членам уравнения:

$ \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 4x}{2} = \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 8x}{2} $

Умножим обе части на 2:

$ 1 + \cos 2x + 1 + \cos 4x = 1 + \cos 6x + 1 + \cos 8x $

$ \cos 2x + \cos 4x = \cos 6x + \cos 8x $

Перенесем члены уравнения и сгруппируем их:

$ (\cos 4x - \cos 8x) - (\cos 6x - \cos 2x) = 0 $

Применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ -2\sin\frac{4x+8x}{2}\sin\frac{4x-8x}{2} - (-2\sin\frac{6x+2x}{2}\sin\frac{6x-2x}{2}) = 0 $

$ -2\sin 6x \sin(-2x) + 2\sin 4x \sin 2x = 0 $

Так как $ \sin(-2x) = -\sin 2x $, получаем:

$ 2\sin 6x \sin 2x + 2\sin 4x \sin 2x = 0 $

$ 2\sin 2x (\sin 6x + \sin 4x) = 0 $

Применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2\sin 2x (2\sin\frac{6x+4x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2}) = 0 $

$ 4\sin 2x \sin 5x \cos x = 0 $

Получаем три уравнения:

1. $ \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ \sin 5x = 0 \implies 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $

3. $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $

Заметим, что решения третьего уравнения ($ x = \frac{\pi}{2} + \pi m $) являются частным случаем решений первого уравнения ($ x = \frac{\pi n}{2} $ при нечетных $ n $). Таким образом, достаточно объединить первые две серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{\pi k}{5} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \sin 6x = 2\cos(\frac{3\pi}{2} + 2x) $

Применим формулу приведения для правой части: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin \alpha $.

$ \cos(\frac{3\pi}{2} + 2x) = \sin 2x $

Уравнение принимает вид:

$ \sin 6x = 2\sin 2x $

Используем формулу синуса тройного угла $ \sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha $. Пусть $ \alpha = 2x $:

$ \sin(3 \cdot 2x) = 3\sin 2x - 4\sin^3 2x $

Подставим это в уравнение:

$ 3\sin 2x - 4\sin^3 2x = 2\sin 2x $

$ \sin 2x - 4\sin^3 2x = 0 $

Вынесем $ \sin 2x $ за скобки:

$ \sin 2x (1 - 4\sin^2 2x) = 0 $

Получаем два уравнения:

1. $ \sin 2x = 0 $

$ 2x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ 1 - 4\sin^2 2x = 0 $

$ \sin^2 2x = \frac{1}{4} $

$ \sin 2x = \pm\frac{1}{2} $

Это равносильно совокупности:

$ 2x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.