Номер 33.7, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.7. Решите уравнение:

1) $\sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{3x}{2} = 1;$

2) $\cos 2x - \cos 8x + \cos 6x = 1;$

3) $1 - \cos x = \operatorname{tg} x - \sin x;$

4) $\sin x + \sin 3x = 4\cos^2 x;$

5) $\cos 2x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x);$

6) $\sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x = 2\cos 5x.$

1) $ \sin^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{3x}{2} = 1 $

Используем формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:

$ \frac{1 - \cos x}{2} + \frac{1 - \cos(3x)}{2} = 1 $
$ 1 - \cos x + 1 - \cos(3x) = 2 $
$ 2 - (\cos x + \cos(3x)) = 2 $
$ \cos x + \cos(3x) = 0 $

Применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2 \cos \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} = 0 $
$ 2 \cos(2x) \cos(-x) = 0 $
Так как $ \cos(-x) = \cos x $, получаем:
$ \cos(2x) \cos x = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $ \cos(2x) = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 2x - \cos 8x + \cos 6x = 1 $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов:

$ (\cos 6x + \cos 2x) - \cos 8x = 1 $
$ 2 \cos \frac{6x+2x}{2} \cos \frac{6x-2x}{2} - \cos 8x = 1 $
$ 2 \cos(4x) \cos(2x) - \cos 8x = 1 $

Используем формулу двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $ для $ \cos 8x $:

$ 2 \cos(4x) \cos(2x) - (2\cos^2(4x) - 1) = 1 $
$ 2 \cos(4x) \cos(2x) - 2\cos^2(4x) + 1 = 1 $
$ 2 \cos(4x) \cos(2x) - 2\cos^2(4x) = 0 $
$ 2 \cos(4x) (\cos(2x) - \cos(4x)) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos(4x) = 0 $
$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos(2x) - \cos(4x) = 0 \implies \cos(2x) = \cos(4x) $
Это равенство выполняется, если:
$ 4x = 2x + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
или
$ 4x = -2x + 2\pi m \implies 6x = 2\pi m \implies x = \frac{\pi m}{3}, \quad m \in \mathbb{Z} $
(Первая серия корней $ x = \pi k $ является подмножеством второй серии $ x = \frac{\pi m}{3} $ при $ m=3k $).

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $.

3) $ 1 - \cos x = \operatorname{tg} x - \sin x $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Заменим $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ 1 - \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x $
$ 1 - \cos x = \sin x (\frac{1}{\cos x} - 1) $
$ 1 - \cos x = \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} $
$ (1 - \cos x) - \frac{\sin x (1 - \cos x)}{\cos x} = 0 $
$ (1 - \cos x) (1 - \frac{\sin x}{\cos x}) = 0 $
$ (1 - \cos x) (1 - \operatorname{tg} x) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ 1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1 $
$ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

2. $ 1 - \operatorname{tg} x = 0 \implies \operatorname{tg} x = 1 $
$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sin x + \sin 3x = 4\cos^2 x $

Применим формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ 2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} = 4\cos^2 x $
$ 2 \sin(2x) \cos(-x) = 4\cos^2 x $
$ 2 \sin(2x) \cos x = 4\cos^2 x $

Используем формулу двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:

$ 2 (2 \sin x \cos x) \cos x = 4\cos^2 x $
$ 4 \sin x \cos^2 x = 4\cos^2 x $
$ 4 \sin x \cos^2 x - 4\cos^2 x = 0 $
$ 4\cos^2 x (\sin x - 1) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Вторая серия решений является подмножеством первой (при $ n = 2k $). Следовательно, общим решением является первая серия.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

5) $ \cos 2x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x) $

Используем формулу двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $:

$ \cos^2 x - \sin^2 x = \sqrt{2} (\cos x - \sin x) $

Разложим левую часть как разность квадратов:

$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = \sqrt{2} (\cos x - \sin x) $
$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) - \sqrt{2} (\cos x - \sin x) = 0 $
$ (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos x - \sin x = 0 \implies \cos x = \sin x $ (можно разделить на $ \cos x \neq 0 $, так как если $ \cos x=0 $, то и $ \sin x=0 $, что невозможно)
$ \operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos x + \sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \cos x + \sin x = \sqrt{2} $ Используем метод вспомогательного угла, разделив на $ \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} $:
$ \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x = 1 $
$ \cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x = 1 $
$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1 $
$ x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Вторая серия решений является подмножеством первой (при $ n=2k $). Таким образом, общим решением является первая серия.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

6) $ \sin 3x + \sqrt{3} \cos 3x = 2\cos 5x $

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла. Умножим и разделим на $ \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = 2 $:

$ 2(\frac{1}{2} \sin 3x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 3x) = 2\cos 5x $
Так как $ \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{\pi}{3} $, получаем:
$ 2(\cos \frac{\pi}{3} \sin 3x + \sin \frac{\pi}{3} \cos 3x) = 2\cos 5x $
$ 2\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = 2\cos 5x $
$ \sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \cos 5x $

Используя формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, получим:
$ \sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 5x) $

Равенство $ \sin A = \sin B $ выполняется в двух случаях:

1. $ A = B + 2\pi n $
$ 3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - 5x + 2\pi n $
$ 8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n $
$ 8x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $
$ x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2. $ A = \pi - B + 2\pi k $
$ 3x + \frac{\pi}{3} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 5x) + 2\pi k $
$ 3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 5x + 2\pi k $
$ -2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $
$ -2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $
$ x = -\frac{\pi}{12} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{48} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{12} - \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.