Номер 33.2, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.2. Решите уравнение:

1) $ \cos 9x - \cos x = 0; $

2) $ \sqrt{2} \cos x \operatorname{ctg} x - 3\sqrt{2} \cos x + \operatorname{ctg} x - 3 = 0. $

1)

Исходное уравнение: $ \cos 9x - \cos x = 0 $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности косинусов:

$ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} $

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 9x $ и $ \beta = x $:

$ -2 \sin\frac{9x + x}{2} \sin\frac{9x - x}{2} = 0 $

$ -2 \sin\frac{10x}{2} \sin\frac{8x}{2} = 0 $

$ -2 \sin(5x) \sin(4x) = 0 $

Разделим обе части на -2:

$ \sin(5x) \sin(4x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $ \sin(5x) = 0 $

$ 5x = \pi k $, где $ k \in Z $ (Z - множество целых чисел).

$ x = \frac{\pi k}{5}, k \in Z $.

2. $ \sin(4x) = 0 $

$ 4x = \pi n $, где $ n \in Z $.

$ x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}, k \in Z; \quad x = \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x + \ctg x - 3 = 0 $.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} $ определена, когда $ \sin x \neq 0 $. Это означает, что $ x \neq \pi k, k \in Z $.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ (\sqrt{2} \cos x \ctg x - 3\sqrt{2} \cos x) + (\ctg x - 3) = 0 $

Из первой группы вынесем $ \sqrt{2} \cos x $:

$ \sqrt{2} \cos x (\ctg x - 3) + 1 \cdot (\ctg x - 3) = 0 $

Теперь вынесем за скобку общий множитель $ (\ctg x - 3) $:

$ (\sqrt{2} \cos x + 1)(\ctg x - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $ \sqrt{2} \cos x + 1 = 0 $

$ \sqrt{2} \cos x = -1 $

$ \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Решения этого уравнения: $ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in Z $.

$ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z $. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как они не являются целыми кратными $ \pi $.

2. $ \ctg x - 3 = 0 $

$ \ctg x = 3 $

Решение этого уравнения: $ x = \text{arcctg}(3) + \pi k, k \in Z $. Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z; \quad x = \text{arcctg}(3) + \pi k, k \in Z $.