Номер 32.32, страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.32. Определите, при каких положительных значениях параметра $a$ промежуток $[0; a]$ содержит ровно $n$ корней уравнения:

1) $2\sin^2 x + \sin x = 0, n = 4;$

2) $2\cos^2 x + \cos x = 0, n = 3.$

1)

Сначала решим уравнение $2\sin^2x + \sin x = 0$. Для этого вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\sin x + 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\sin x = 0$, откуда получаем серию корней $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $2\sin x + 1 = 0$, то есть $\sin x = -1/2$. Отсюда получаем две серии корней: $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Согласно условию, нам необходимо найти все положительные значения параметра $a$, при которых промежуток $[0; a]$ содержит ровно $n=4$ корня. Для этого выпишем все неотрицательные корни уравнения в порядке возрастания.

Из серии $x = k\pi$ получаем корни: $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots$

Из серии $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ (при $k \ge 0$) получаем корни: $\frac{7\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}, \ldots$

Из серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$ (при $k \ge 1$) получаем корни: $\frac{11\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}, \ldots$

Объединим все найденные неотрицательные корни и расположим их в порядке возрастания:

$x_1 = 0$

$x_2 = \pi$

$x_3 = \frac{7\pi}{6}$

$x_4 = \frac{11\pi}{6}$

$x_5 = 2\pi$

... и так далее.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал ровно 4 корня, он должен включать четвертый корень ($x_4$), но не включать пятый ($x_5$). Это означает, что правая граница промежутка $a$ должна удовлетворять неравенству $x_4 \le a < x_5$.

Подставляя значения $x_4$ и $x_5$, получаем искомый диапазон для $a$:

$\frac{11\pi}{6} \le a < 2\pi$.

Ответ: $a \in [\frac{11\pi}{6}; 2\pi)$.

2)

Решим уравнение $2\cos^2x + \cos x = 0$. Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\cos x + 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1. $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $2\cos x + 1 = 0$, то есть $\cos x = -1/2$. Отсюда получаем серию корней $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

По условию, промежуток $[0; a]$ должен содержать ровно $n=3$ корня. Найдем неотрицательные корни уравнения и расположим их в порядке возрастания.

Из серии $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (при $k \ge 0$) получаем корни: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots$

Из серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ (при $k \ge 0$) получаем корни: $\frac{2\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \ldots$

Из серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ (при $k \ge 1$) получаем корни: $\frac{4\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, \ldots$

Объединим все найденные неотрицательные корни и расположим их в порядке возрастания, сравнив их величины (например, приведя к общему знаменателю 6):

$x_1 = \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$

$x_2 = \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{6}$

$x_3 = \frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{6}$

$x_4 = \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$

... и так далее.

Чтобы промежуток $[0; a]$ содержал ровно 3 корня, он должен включать третий корень ($x_3$), но не включать четвертый ($x_4$). Это означает, что правая граница промежутка $a$ должна удовлетворять неравенству $x_3 \le a < x_4$.

Подставляя значения $x_3$ и $x_4$, получаем искомый диапазон для $a$:

$\frac{4\pi}{3} \le a < \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $a \in [\frac{4\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$.