Номер 32.34, страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.34. Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение

$\cos^2 x - \left(a - \frac{1}{3}\right)\cos x - \frac{a}{3} = 0$ имеет на промежутке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}\right]$:

1) два корня;

2) три корня;

3) не менее трёх корней.

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos{x}$. Сделаем замену $t = \cos{x}$. Поскольку $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}]$, то $t$ принимает значения из отрезка $[-1, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

Уравнение примет вид:$t^2 - (a - \frac{1}{3})t - \frac{a}{3} = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = a - \frac{1}{3}$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = -\frac{a}{3}$. Легко подобрать корни: $t_1 = a$ и $t_2 = -\frac{1}{3}$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:$\cos{x} = a$$\cos{x} = -\frac{1}{3}$

Нам нужно найти количество корней на промежутке $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}]$. Проанализируем поведение функции $y = \cos{x}$ на этом промежутке.

• На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \pi]$ функция $\cos{x}$ монотонно убывает от $\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ до $\cos(\pi)=-1$.
• На отрезке $[\pi, \frac{5\pi}{3}]$ функция $\cos{x}$ монотонно возрастает от $\cos(\pi)=-1$ до $\cos(\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2}$.

Таким образом, для уравнения $\cos{x} = t$ на промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}]$:

• при $t \in (-1, \frac{1}{2})$ будет два корня;
• при $t = -1$ или $t \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ будет один корень;
• при $t < -1$ или $t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ корней не будет.

Рассмотрим второе уравнение совокупности: $\cos{x} = -\frac{1}{3}$. Поскольку $-1 < -\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$, это уравнение всегда имеет ровно два корня на заданном промежутке.

Теперь проанализируем первое уравнение: $\cos{x} = a$. Количество его корней зависит от значения $a$. Общее число корней исходного уравнения — это сумма корней от каждого уравнения совокупности. При этом нужно учесть случай, когда корни совпадают, то есть $a = -\frac{1}{3}$.

1) два корня

Уравнение будет иметь два корня в двух случаях:
а) Корни совокупности совпадают. Это происходит при $a = -\frac{1}{3}$. В этом случае мы имеем одно уравнение $\cos{x} = -\frac{1}{3}$, которое, как мы выяснили, дает два корня на заданном промежутке.
б) Уравнение $\cos{x} = -\frac{1}{3}$ дает два корня, а уравнение $\cos{x} = a$ не дает корней (при условии, что $a \neq -\frac{1}{3}$). Это происходит, когда значение $a$ лежит вне области значений функции $\cos{x}$ на данном промежутке, то есть $a < -1$ или $a > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Объединяя эти случаи, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty) \cup \{-\frac{1}{3}\}$

2) три корня

Чтобы общее число корней было равно трем, необходимо, чтобы уравнение $\cos{x} = -\frac{1}{3}$ давало два корня, а уравнение $\cos{x} = a$ давало один корень (при $a \neq -\frac{1}{3}$).Уравнение $\cos{x} = a$ имеет один корень на промежутке $[\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{3}]$ в следующих случаях:
а) $a = -1$.
б) $a \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.
Значение $a = -\frac{1}{3}$ не входит в эти множества, поэтому условие $a \neq -\frac{1}{3}$ выполняется.

Ответ: $a = -1$ или $a \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

3) не менее трёх корней

Это означает, что уравнение должно иметь три или четыре корня. Случай, когда корней ровно три, мы рассмотрели в предыдущем пункте. Это происходит при $a = -1$ или $a \in [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

Четыре корня уравнение будет иметь, если уравнение $\cos{x} = -\frac{1}{3}$ дает два корня, и уравнение $\cos{x} = a$ тоже дает два корня (при $a \neq -\frac{1}{3}$).Уравнение $\cos{x} = a$ имеет два корня, если $a \in (-1, \frac{1}{2})$. Из этого интервала нужно исключить значение $a = -\frac{1}{3}$, при котором корни совпадают и общее число корней равно двум. Таким образом, для четырех корней $a \in (-1; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{1}{2})$.

Объединим множества значений $a$, при которых уравнение имеет три или четыре корня:$ (\{-1\} \cup [\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]) \cup ((-1; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{1}{2})) $Получаем: $ [-1; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}] $.

Ответ: $a \in [-1; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}]$