Номер 32.29, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.29. Решите уравнение:

1) $\sin^3 x + \cos^3 x = 1$;

2) $\frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x} + 2 \cdot \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = 3.$

1) $\sin^3 x + \cos^3 x = 1$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \sin x$ и $b = \cos x$.

$(\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = 1$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, уравнение принимает вид:

$(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 1$

Сделаем замену. Пусть $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$.

Отсюда выразим $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.

Подставим выражения для $t$ и $\sin x \cos x$ в уравнение:

$t \left(1 - \frac{t^2 - 1}{2}\right) = 1$

$t \left(\frac{2 - (t^2 - 1)}{2}\right) = 1$

$t \left(\frac{3 - t^2}{2}\right) = 1$

$3t - t^3 = 2$

$t^3 - 3t + 2 = 0$

Это кубическое уравнение относительно $t$. Найдем его корни подбором среди делителей свободного члена (числа 2), то есть $\pm 1, \pm 2$.

При $t=1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем.

При $t=-2$: $(-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$. Значит, $t=-2$ является корнем.

Разложим многочлен на множители: $(t-1)(t-1)(t+2) = (t-1)^2(t+2) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Вернемся к замене $t = \sin x + \cos x$.

Выражение $\sin x + \cos x$ можно представить в виде $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Значения этого выражения лежат в отрезке $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$.

Случай 1: $\sin x + \cos x = -2$.

Так как $-2 < -\sqrt{2}$, это уравнение не имеет решений.

Случай 2: $\sin x + \cos x = 1$.

Преобразуем: $\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Отсюда получаем две серии решений:

а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x} + 2 \cdot \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $1 - \sin 2x \ne 0 \implies \sin 2x \ne 1 \implies 2x \ne \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $1 - \operatorname{tg} x \ne 0 \implies \operatorname{tg} x \ne 1 \implies x \ne \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Тангенс должен быть определен, значит $\cos x \ne 0 \implies x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем первое слагаемое, используя формулы $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.

$1 - \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$.

Тогда $\frac{1 + \sin 2x}{1 - \sin 2x} = \frac{(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x - \cos x)^2} = \left(\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}\right)^2$.

Разделим числитель и знаменатель дроби в скобках на $\cos x$ (так как $\cos x \ne 0$ по ОДЗ):

$\left(\frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x}}\right)^2 = \left(\frac{\operatorname{tg} x + 1}{\operatorname{tg} x - 1}\right)^2 = \left(\frac{1 + \operatorname{tg} x}{-(1 - \operatorname{tg} x)}\right)^2 = \left(\frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x}\right)^2$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\left(\frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x}\right)^2 + 2 \cdot \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = 3$.

Сделаем замену $y = \frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x}$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y - 3 = 0$.

Это квадратное уравнение, корни которого $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 1$.

$\frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = 1 \implies 1 + \operatorname{tg} x = 1 - \operatorname{tg} x \implies 2\operatorname{tg} x = 0 \implies \operatorname{tg} x = 0$.

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта серия корней удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = -3$.

$\frac{1 + \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg} x} = -3 \implies 1 + \operatorname{tg} x = -3(1 - \operatorname{tg} x) \implies 1 + \operatorname{tg} x = -3 + 3\operatorname{tg} x$.

$4 = 2\operatorname{tg} x \implies \operatorname{tg} x = 2$.

$x = \operatorname{arctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта серия корней также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \pi k, x = \operatorname{arctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.