Номер 32.22, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.22. Решите уравнение:

1) $3\sin\frac{x}{3} = \sin x;$

2) $\cos 3x - 1 = \cos 2x.$

1) $3\sin\frac{x}{3} = \sin x$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

Пусть $\alpha = \frac{x}{3}$, тогда $3\alpha = x$. Подставим это в формулу:

$\sin x = 3\sin\frac{x}{3} - 4\sin^3\frac{x}{3}$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$3\sin\frac{x}{3} = 3\sin\frac{x}{3} - 4\sin^3\frac{x}{3}$

Упростим полученное уравнение:

$4\sin^3\frac{x}{3} = 0$

$\sin^3\frac{x}{3} = 0$

$\sin\frac{x}{3} = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$\frac{x}{3} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Отсюда находим $x$:

$x = 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 3\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos3x - 1 = \cos2x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$\cos3x - \cos2x - 1 = 0$

Воспользуемся формулами косинуса тройного и двойного углов:

$\cos3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$

$\cos2x = 2\cos^2 x - 1$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(4\cos^3 x - 3\cos x) - (2\cos^2 x - 1) - 1 = 0$

$4\cos^3 x - 3\cos x - 2\cos^2 x + 1 - 1 = 0$

$4\cos^3 x - 2\cos^2 x - 3\cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (4\cos^2 x - 2\cos x - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\cos x = 0$

2. $4\cos^2 x - 2\cos x - 3 = 0$

Решим первое уравнение:

$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение. Сделаем замену $t = \cos x$, при этом $|t| \le 1$.

$4t^2 - 2t - 3 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 4 + 48 = 52$

Найдем корни квадратного уравнения:

$t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|t| \le 1$.

Для корня $t_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $1+3 < 1+\sqrt{13} < 1+4$, следовательно $\frac{4}{4} < \frac{1 + \sqrt{13}}{4} < \frac{5}{4}$. То есть $t_1 > 1$, что не удовлетворяет условию $|\cos x| \le 1$. Этот корень является посторонним.

Для корня $t_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$: так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $1-4 < 1-\sqrt{13} < 1-3$, следовательно $-\frac{3}{4} < \frac{1 - \sqrt{13}}{4} < -\frac{2}{4}$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Вернемся к замене:

$\cos x = \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Отсюда находим $x$:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{4}\right) + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.