Номер 32.17, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.17. Решите уравнение:

1) $\operatorname{tg}^4 x + \operatorname{ctg}^4 x + \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{ctg}^2 x = 4;$

2) $18 \cos^2 x + 5(3 \cos x + \cos^{-1} x) + 2 \cos^{-2} x + 5 = 0.$

1) $\tg^4x + \ctg^4x + \tg^2x + \ctg^2x = 4$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \ne 0$ и $\cos x \ne 0$, что эквивалентно $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты:
$(\tg^4x + 2\tg^2x\ctg^2x + \ctg^4x) - 2\tg^2x\ctg^2x + (\tg^2x + \ctg^2x) = 4$
Так как $\tg x \cdot \ctg x = 1$, то $\tg^2x\ctg^2x = 1$.
$(\tg^2x + \ctg^2x)^2 - 2 + (\tg^2x + \ctg^2x) = 4$
Введем замену: пусть $y = \tg^2x + \ctg^2x$. Уравнение примет вид:
$y^2 + y - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $y_1 = 2$, $y_2 = -3$.
Вернемся к замене.
1. Случай $y = -3$:
$\tg^2x + \ctg^2x = -3$
Так как $\tg^2x \ge 0$ и $\ctg^2x \ge 0$, их сумма не может быть отрицательной. Следовательно, в этом случае решений нет.
2. Случай $y = 2$:
$\tg^2x + \ctg^2x = 2$
Так как $\ctg^2x = \frac{1}{\tg^2x}$, получаем:
$\tg^2x + \frac{1}{\tg^2x} = 2$
Умножим обе части на $\tg^2x \ne 0$:
$(\tg^2x)^2 + 1 = 2\tg^2x$
$(\tg^2x)^2 - 2\tg^2x + 1 = 0$
$(\tg^2x - 1)^2 = 0$
$\tg^2x - 1 = 0$
$\tg^2x = 1$
Отсюда $\tg x = 1$ или $\tg x = -1$.
Если $\tg x = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Если $\tg x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить в одну: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.
Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $18\cos^2x + 5(3\cos x + \cos^{-1}x) + 2\cos^{-2}x + 5 = 0$

Будем считать, что $\cos^{-1}x = \frac{1}{\cos x}$ и $\cos^{-2}x = \frac{1}{\cos^2x}$.
ОДЗ: $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Перепишем уравнение в виде:
$18\cos^2x + 15\cos x + \frac{5}{\cos x} + \frac{2}{\cos^2x} + 5 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(18\cos^2x + \frac{2}{\cos^2x}) + (15\cos x + \frac{5}{\cos x}) + 5 = 0$
$2(9\cos^2x + \frac{1}{\cos^2x}) + 5(3\cos x + \frac{1}{\cos x}) + 5 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = 3\cos x + \frac{1}{\cos x}$.
Тогда $t^2 = (3\cos x + \frac{1}{\cos x})^2 = 9\cos^2x + 2 \cdot 3\cos x \cdot \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\cos^2x} = 9\cos^2x + 6 + \frac{1}{\cos^2x}$.
Отсюда $9\cos^2x + \frac{1}{\cos^2x} = t^2 - 6$.
Подставим в уравнение:
$2(t^2 - 6) + 5t + 5 = 0$
$2t^2 - 12 + 5t + 5 = 0$
$2t^2 + 5t - 7 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$t_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$
$t_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Вернемся к исходной переменной.
1. Случай $t = 1$:
$3\cos x + \frac{1}{\cos x} = 1$
$3\cos^2x + 1 = \cos x$
$3\cos^2x - \cos x + 1 = 0$
Пусть $u = \cos x$. Уравнение $3u^2 - u + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11 < 0$. Действительных корней нет.
2. Случай $t = -\frac{7}{2}$:
$3\cos x + \frac{1}{\cos x} = -\frac{7}{2}$
Умножим на $2\cos x \ne 0$:
$6\cos^2x + 2 = -7\cos x$
$6\cos^2x + 7\cos x + 2 = 0$
Пусть $u = \cos x$. Уравнение $6u^2 + 7u + 2 = 0$. Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$.
$u_1 = \frac{-7 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$
$u_2 = \frac{-7 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
Оба значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$, поэтому являются допустимыми значениями для косинуса.
a) $\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos x = -\frac{2}{3}$
$x = \pm \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.