Номер 32.36, страница 241 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.36. При каких значениях параметра $a$ уравнения $sin2x + a = sinx + 2a cosx$ и $2cos2x + a^2 = 5a cosx - 2$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем множества решений каждого уравнения.

Рассмотрим первое уравнение:

$\sin(2x) + a = \sin x + 2a \cos x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x + a - \sin x - 2a \cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(2 \sin x \cos x - \sin x) + (a - 2a \cos x) = 0$

$\sin x (2 \cos x - 1) - a (2 \cos x - 1) = 0$

$(\sin x - a)(2 \cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, совокупность решений первого уравнения задается условиями:

$\sin x = a$ или $2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$

Обозначим множество решений первого уравнения как $S_1$. Оно является объединением решений уравнений $\sin x = a$ и $\cos x = \frac{1}{2}$.

$S_1 = \{x | \sin x = a\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

Рассмотрим второе уравнение:

$2 \cos(2x) + a^2 = 5a \cos x - 2$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1$:

$2(2 \cos^2 x - 1) + a^2 = 5a \cos x - 2$

$4 \cos^2 x - 2 + a^2 = 5a \cos x - 2$

$4 \cos^2 x - 5a \cos x + a^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Решим его. Пусть $t = \cos x$.

$4t^2 - 5at + a^2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-5a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot a^2 = 25a^2 - 16a^2 = 9a^2 = (3a)^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{5a - 3a}{2 \cdot 4} = \frac{2a}{8} = \frac{a}{4}$

$t_2 = \frac{5a + 3a}{2 \cdot 4} = \frac{8a}{8} = a$

Возвращаясь к замене, получаем, что совокупность решений второго уравнения задается условиями:

$\cos x = \frac{a}{4}$ или $\cos x = a$

Обозначим множество решений второго уравнения как $S_2$. Оно является объединением решений уравнений $\cos x = \frac{a}{4}$ и $\cos x = a$.

$S_2 = \{x | \cos x = \frac{a}{4}\} \cup \{x | \cos x = a\}$

Сравним множества решений $S_1$ и $S_2$:

Для равносильности уравнений необходимо, чтобы $S_1 = S_2$.

$\{x | \sin x = a\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} = \{x | \cos x = \frac{a}{4}\} \cup \{x | \cos x = a\}$

Множество $\{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$ непустое. Следовательно, оно должно содержаться в $S_2$. Это означает, что любое решение уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ должно быть решением хотя бы одного из уравнений $\cos x = a$ или $\cos x = \frac{a}{4}$. Это возможно в двух случаях:

1) $a = \frac{1}{2}$

2) $\frac{a}{4} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $a = \frac{1}{2}$

Подставим $a = \frac{1}{2}$ в выражения для $S_1$ и $S_2$:

$S_1 = \{x | \sin x = \frac{1}{2}\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

$S_2 = \{x | \cos x = \frac{1/2}{4}\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} = \{x | \cos x = \frac{1}{8}\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

Для равенства $S_1 = S_2$ необходимо, чтобы множества $\{x | \sin x = \frac{1}{2}\}$ и $\{x | \cos x = \frac{1}{8}\}$ совпадали. Однако, это не так. Например, $x = \frac{\pi}{6}$ является решением уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$, но $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{8}$. Значит, при $a = \frac{1}{2}$ уравнения не равносильны.

Случай 2: $\frac{a}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 2$

Подставим $a = 2$ в выражения для $S_1$ и $S_2$:

$S_1 = \{x | \sin x = 2\} \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

$S_2 = \{x | \cos x = \frac{2}{4}\} \cup \{x | \cos x = 2\} = \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} \cup \{x | \cos x = 2\}$

Уравнение $\sin x = 2$ не имеет действительных решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$. Таким образом, множество $\{x | \sin x = 2\}$ является пустым множеством $(\emptyset)$.

$S_1 = \emptyset \cup \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} = \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

Аналогично, уравнение $\cos x = 2$ не имеет действительных решений. Множество $\{x | \cos x = 2\}$ также является пустым множеством $(\emptyset)$.

$S_2 = \{x | \cos x = \frac{1}{2}\} \cup \emptyset = \{x | \cos x = \frac{1}{2}\}$

В этом случае $S_1 = S_2$. Следовательно, при $a=2$ уравнения равносильны.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, при котором данные уравнения равносильны, это $a=2$.

Ответ: $a=2$.