Номер 33.1, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.1. Решите уравнение:

1) $\sin 5x - \sin x = 0$;

2) $2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3} \sin x - \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0$.

1)

Дано уравнение $ \sin 5x - \sin x = 0 $.

Для решения воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $.

Применив эту формулу к нашему уравнению, получим:

$ 2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2} = 0 $

$ 2\sin 2x \cos 3x = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

а) $ \sin 2x = 0 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:

$ 2x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos 3x = 0 $

Решение этого уравнения:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Объединяя обе серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2} $; $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение $ 2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3}\sin x - \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, откуда следует, что $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:

$ (2\sin x \operatorname{tg} x + 2\sqrt{3}\sin x) - (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ 2\sin x(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) - 1(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $ (\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) $:

$ (2\sin x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $ 2\sin x - 1 = 0 $

$ \sin x = \frac{1}{2} $

Решения этого уравнения:

$ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как для них $ \cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0 $.

б) $ \operatorname{tg} x + \sqrt{3} = 0 $

$ \operatorname{tg} x = -\sqrt{3} $

Решения этого уравнения:

$ x = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{3} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $

Эти корни также удовлетворяют ОДЗ, так как тангенс для них определен.

Объединяем полученные серии решений.

Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k $; $ x = -\frac{\pi}{3} + \pi m $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.